全同粒子体系与波函数的交换对称性.ppt

自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，介子等。 同一类粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自旋，磁矩，寿命等.,粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性.,在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同（identical）粒子.,4.5.1 全同粒子的交换对称性,全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性.,例如氦原子中两个电子组成的体系, Hamilton量为,当两个电子交换时， 显然不变，即 是两个电子交换的算符, 亦即,对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性.,那么, 在忽略粒子相互作用的情况下, 如何去构造具有完全交换对称性或反对性的波函数?,接下来我们将对这问题做一般的讨论. 考虑N个全同粒子组成的多体系的情况.,对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数 描述, 表示每一个粒子的全部坐标 ( 例如包括空间坐标与自旋坐标) . 表示第 粒子与第 粒子的全部坐标的交换，即,由于所有粒子的内禀属性完全相同， 和 这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子 ,即,用 再运算一次，得,显然 ，所以 ，因而,代入式（2），可看出， 有（而且只有）两个本征值，即 . 即全同粒子系的波函数必须满足下列关系之一,注意，对于全同粒子系,式中 .凡满足 的，称为对称波函数；满足 的, 称为反对称波函数.,所有 都是守恒量.,所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称.,实验表明,凡自旋为 的整数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子.例如介子 ，光子 .,凡自旋为 的半奇数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子.例如电子，质子，中子等.,对于给定的一类全同粒子, 其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的, 而且与粒子的自旋有确定的关系.,设有两个全同粒子 (忽略它们的相互作用)，Hamilton 量表示为,4.5.2 两个全同粒子组成的体系,这种与交换相联系的简并, 称为交换简并.但这两个波函数还不一定具有交换对称性.,在上式中， 为单粒子能量, 为相应的归一化单粒子波函数, 代表一组完备的量子数.,设两个粒子中有一个处于 态,另一个处 于 态,则 与 对 应的能量都是,对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的.这里要分两种情况：,是归一化因子,（b ) ,归一化波函数为,（a） ，归一化的对称波函数可如下构成,对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成,著名的Pauli不相容原理： 不允许有两个全同的Fermi子处于同一单粒子态（这里 k 代表足以描述Fermi 子量子态的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）.,在上式中, 若 ，则 ，即这样的状态是不存在的.,先考虑三个无相互作用全同Fermi 子组成的体系.,设三个粒子处于三个不同的单粒子态 , ,和 , 则反对称波函数可表示为,4.5.3 N个全同Fermi子组成的体系,其中,称为反对称化算符.,类似可以推广到N个全同Fermi子组成的体系.设N个Fermi子分别处于 态下，则反对称波函数可如下构成,P 代表N个粒子的一个置换 ( permutation) . N 个粒子分别排列在N个单粒子态上 , 共有N！个置换（包括恒等变换 I ）。,在上式中,称为反对称化算符.,从标准排列 经过 各种可能的置换P，得到 一共得出N！项，即行列式展开后得出的N! 项.,Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态. 设有 个Bose子处于 态上 ， ，这些 中，有些可以为0，有些可以大于1.此时，对称的多粒子波函数可以表示成,4.5.4 N个全同Bose子组成的体系,因此，归一化的对称波函数可表示为,最后应当指出，全同粒子体系的波函数的这种表达方式是比较繁琐的. 描述全同粒子体系的量