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文档简介

1,问题：如何研究曲线的凹凸性?,第五节 函数的凹凸性与拐点,在绘制函数图像时, 仅知道函数的单调性(函数是上升,还是下降）是不够的,还需知道曲线的弯曲方向.,曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.,曲线的凹凸性,2,图形上任意弧段位于,图形上任意弧段位于,所张弦的下方：凹,所张弦的上方：凸,凹,凸,一、曲线凹凸性的定义,（上凹、下凸）,（下凹、上凸）,3,知识回顾：,1、函数单调性的判别法则,定理,定理(极值的必要条件),2、极值的充分、必要条件,4,极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间,的分界点.,5,定理3(极值的第二充分条件),当第二充分条件失效时, 需用第一充分条件或定义法,进行判断.,6,定义,(凸的).,7,拐点,凹,凸,当曲线是凹的时， f (x)单调增加.,当曲线是凸的时， f (x)单调减少.,二、曲线凹凸性的判定,曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点.,8,定理（曲线凹凸性的判别法）,（证略）,拐点的计算：,1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点；,2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；,注意：拐点是平面上的点, 要写出纵坐标.,若同号则不是拐点.,9,例1,解,常见错误：,拐点是平面点,有两个坐标.,10,注意：,二阶导数的零点不一定是拐点！,例2,解,拐点,拐点,11,12,不存在,拐点,例3,解,非拐点,13,例3,解,不存在,拐点,非拐点,14,例4,解,15,利用凹凸性证明不等式,例5,证,得证.,16,不等式证明的方法：,1、拉格朗日中值定理；,2、函数的单调性、极值；
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