微积分二课后题答案,复旦大学出版社第八章.doc

第八章习题8-1求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)； (2)；(3)z=arcsin； (4)z=arccos（x+y）解：（1）要使函数有意义，必须即， 则函数的定义域为，如图8-1阴影所示. 图8-1 图8-1 （2）要使函数有意义，必须即，则函数的定义域为且,如图8-2所示为直线的下方且除去的点的阴影部分（不包含直线上的点）. （3）要使函数有意义，必须,即， 即或，所以函数的定义域为且，如图8-3阴影所示. 图8-3 图8-4 （4）要使函数有意义，必须 即 ,所以函数的定义域为,如图8-4阴影所示.设函数f(x,y)=x3-2xy+3y2，求(1) f(-2,3); (2) f ； (3)f(x+y,x-y).解：（1）; （2）; （3） .设F(x,y)=f（），若当y=1时，F(x,1)=x，求f(x)及F(x,y)的表达式解：由得即 令则代入上式有 所以 于是指出下列集合A的内点、边界点和聚点：(1)；(2)；(3)A（x,y）xy； (4)解：（1）内点 边界点 聚点A （2）内点 边界点A 聚点A （3）内点A 边界点（0，0） 聚点A（4）内点 边界点0,2 聚点0,2习题8-2讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z=； (2)z=解：(1)当沿曲线趋于（0，0）时，有这个值随的不同而不同，所以函数在处的极限不存在. (2)当沿直线趋于时，有，这个极限值随的不同而不同，所以函数在处的极限不存在.求下列极限：(1) ； (2)；(3)； (4)解：（1） （2） （3） （4）当时，是无穷小量，而是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即.求函数z=的间断点解:由于时函数无定义，故在抛物线处函数间断，函数的间断点是.习题8-3求下列各函数的偏导数：(1) z=(+x)y; (2) z=lntan；(3) z=arctan； (4) u=解：（1） ; （2） （3） （4） 已知f(x,y)=e-sinx(x+2y)，求(0，1)，(0，1)解： 所以 设z=x+y+(y-1)arcsin，求解： 又 所以.验证z=满足解： 所以 设函数z=,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解： 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且.求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角解：因为 ，故曲线在点（2，4，5）的切线斜率是,所以切线与轴正向所成的倾角.求函数z=xy在(2,3)处，当x0.1与y=0.2时的全增量z与全微分dz解： 而当时， .求下列函数的全微分：(1) 设u=，求du(1,1,1)(2) 设z=，求dz解：（1） ; ,于是 （2） 习题8-4求下列各函数的全导数：(1) z=e2x+3y, x=cost, y=t2; (2)z=tan(3t+2x2+y3), x=，y=解：（1） （2） .求下列各函数的偏导数：(1) z=x2y-xy2, x=ucosv, y=usinv;(2)z=euv, u=ln, v=arctan解：（1） （2） 求下列函数的一阶偏导数，其中f可微：(1) u=f ()； (2)z=f(x2+y2)； (3)u=f(x, xy, xyz)解：（1） （2）令则 （3）令,则. 设z=xy+x2(u),u=，（u）可导证明：证： 利用全微分形式不变性求全微分：(1) z=(x2+y2)sin(2x+y)； (2) u=，f可微解：（1）令，则 （2） 求下列隐函数的导数：(1) 设ex+y+xyz=ex，求,； (2)设=ln，求解：（1）设，则 故（2）设,则 故 设x+z=yf(x2-z2)，其中f可微，证明：证：设则 故 从而 设x=eucosv, y=eusinv, z=uv,求及解法一：由得 故 解法二：设方程组确定了函数,对方程组的两个方程关于求偏导得解方程组得又方程组的两个方程关于求偏导得解方程组得：从而 设u=f(x,y,z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程和ez-xz=0确定，求解：方程两边对求导得，解得方程两边对求导得解得从而 习题8-5求下列函数的二阶偏导数：(1) z=x4+y4-4x2y2； (2) z=arctan；(3)z=yx； (4)z=xln(xy)解：（1） （2） （3） （4） 求下列函数的二阶偏导数，其中f(u,v)可微：(1) z=f(x2+y2)； (2)z=f(xy,x+2y)解：（1） （2） 求由ez-xyz=0所确定的z=f(x,y)的所有二阶偏导数解：设，则于是从而 习题8-6 求z=x+y在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2+)的方向的方向导数解：设，则射线的方向就是向量的方向，将单位化得：于是,又于是所以 设u=xyz+x+y+z,求u在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数解：设,则射线l的方向就是向量=(1,1,1)的方向，将单位化得，于是又，于是,所以.求函数z=x-xy+y在点（，）处沿与Ox轴的正方向所成角为的方向l上的方向导数问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零?解：, 当=1，时，即时，此方向导数有最大值当时，即时，此方向导数有最小值当时，即或时，此方向导数为0.习题8-7求下列函数的极值：(1) z=x-4x2+2xy-y2+3； (2) z=e2x(x+2y+y2)；(3) z=xy(a-x-y)，a0解：（1）由方程组：得驻点（0，0），（2，2）又在点（0，0）处，,又，所以函数取得极大值在点（2，2）处，该点不是极值点.（2）由方程组得驻点.又，在点处且,所以函数取得极小值（3）由方程组得四个驻点（0，0），又.在点（0，0）处，该点不是极值点.在点处，,该点不是极值点.在点处，,该点不是极值点.在点处,，所以函数在该点有极值，且极值为,由于故当时，函数有极大值,当时，函数有极小值.求函数z=x3-4x2+2xy-y2在闭区域D：-1x4,-1y1上的最大值和最小值分析由在上连续，所以必有最大最小值，又由于在D内可导，所以的最值在D的内部驻点或在D的边界上，由在D内部驻点上值与边界上函数比较可求出的最大和最小值.解：由方程得驻点（0，0），（2，2）（2，2）应该舍去，（可由充分条件判别知是极大值）.D的边界可分为四部分：在上，因为所以单调递减，因而最大，最小.在上，令得.而, 分别是在上的最小值与最大值.类似讨论可得：在上，分别是的最大值与最小值;在上=-8分别是的最大值与最小值. 比较在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到是函数在D上的最大值，.求函数z=x+y在条件 (x,y)下的条件极值解：构造拉格朗日函数解方程组得,故得驻点(2,2)。又, 由知，所以函数在(2,2)处有极小值.*求曲线y=上的动点到定点(a,0)的最小距离解：设为曲线上的任一点，到定点的距离为，则此问题可转化为求在条件下的最小值.先构造拉格朗日函数解方程组得 由题意故.于是当时，最短距离为.又时，最短距离.把正数a分解成三个正数之和，使它们的乘积最大解：设三个正数为,则要求函数在条件下的极值.先构造拉格朗日函数解方程组得,.又 由得 所以当时，乘积有最大值.设生产某种产品的数量f(x,y)与所用甲、乙两种原料的数量x,y之间有关系式f(x,y)0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原料各多少，使产量f(x,y)最大?最大产量是多少?解：依题意知要求函数=0.005在条件下的极值，为此，先构造拉格朗日函数.,解方程组 得 或 （依题意，舍去）得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在，故当时，产量最大，最大产量为.某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为：=400+2x+3y+0.01 (3x2+xy+3y2)（万元）又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量解：依题意销售x件甲产品和y件乙产量的总收入总利润 又知，故要求函数在约束条件的极值，为此构造拉格朗日函数:解方程组得唯一驻点，由问题的实际意义知，最值一定存在，故当时，即生产甲产品70件，乙产品30件时，企业获得最大利润，最大利润为万元.习题8-81 将二重积分化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：(1) x1,y2;(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成；(3) 由x轴及半圆周x2+y2=r2(y0)所围成解：（1） 图8-5 （2）解方程得两交点 (0,0),(4,4). 故 图8-6 （3）由得故 图8-7 2 交换下列两次积分的次序：(1); (2);(3)解：（1）由积分限，作出积分区域D，如图8-8所示，区域D也可以表示为 图8-8 图8-9于交换积分次序得（2）由积分限，作出积分区域D如图8-9所示区域D也可表示为：, 于是交换积分次序得 （3）由已给积分限，作出积分区域,由,作出区域,与组成积分区域D，如图8-10所示，D也可表示为于是交换积分次序得：. 图8-103 计算下列二重积分：(1) ， D: x1,y1;(2) ,D由直线y=1,x=2及y=x围成；(3) ,D由y=x和y=x围成；(4) ，D : x+y1;(5) ，D由与y=x围成；(6) ，D是圆域x2y2R2；(7) ，D是由圆x2y2=4,x2y2=1，直线y=0和y=x所围成的第一象限的区域；(8) ， D：x2y21, x+y1解：（1）D可表示为： 故 （2）作出积分区域D如图8-11所示，D可表示为 图8-11 图8-12 故 （3）作出积分区域D如图8-12所示，可求得直线与的交点为（-1,-1），（0，0）（1，1），积分区域D可划分为和，其中： ：. 于是： （4）作出积分区域D如图8-13所示，D关于轴对称，对均为偶函数，故 图8-13 图8-14其中或写成.再用积分区域和被积函数具有关于变量的轮换对称性，得 所以 （5）作出积分区域D如图8-14所示，由积分出，故应先对积分再对积分.积分区域D可表示为于是有 （6）积分区域D：用极坐标表示是所以 （7）作积分区域D如图8-15所示，D用极坐标表示为：由知于是 图8-15 图8-16 （8）作出积分区域D如图8-16所示，D用极坐标可表示为于是 4 已知广义二重积分收敛，求其值其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域解：作出积分区域D如图8-17所示，设是由曲线及直线围成的区域，则图8-17显然，当时，有，因此有5 计算解：设 则有 而 ,利用极坐标