2020版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的性质学案.docx

第2课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(nN)，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，(S奇0)；若等差数列的项数为2n1(nN)，则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项)，S奇S偶an，(S奇0)性质3an为等差数列为等差数列思考若an是公差为d的等差数列，那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案(a4a5a6)(a1a2a3)(a4a1)(a5a2)(a6a3)3d3d3d9d，(a7a8a9)(a4a5a6)(a7a4)(a8a5)(a9a6)3d3d3d9d.a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差为9d的等差数列知识点二等差数列an的前n项和公式的函数特征1公式Snna1可化成关于n的表达式：Snn2n.当d0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的一系列孤立的点2等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，由得又nN，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n(nN)(2)方法一由(1)知，a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知，a19，d20，n6时，an0，d0或a10)中，andn(a1d)，其图象为ydx(a1d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13B35C49D63答案C解析S77749.2若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12B13C14D15答案B解析S55a325，a35，da3a2532，a7a25d31013.故选B.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45C36D27答案B解析a7a8a9S9S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6S3，S9S6构成等差数列，所以S3(S9S6)2(S6S3)，即a7a8a9S9S62S63S32363945.4已知等差数列an的前n项和为Sn，7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为()A5B6C7D8答案B解析由7a55a90，即7a128d5a140d0，得.又a9a5，所以d0，a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.一、选择题1已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A11或12B12C13D12或13答案D解析an262n，anan12，数列an为等差数列又a124，d2，Sn24n(2)n225n2.nN，当n12或13时，Sn最大，故选D.2等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，那么此数列前20项的和为()A160B180C200D220答案B解析由a1a2a33a224，得a28，由a18a19a203a1978，得a1926，于是S2010(a1a20)10(a2a19)10(826)180.3数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2B1C0D1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为SnAn2Bn，1.4在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2011S2016，SkS2008，则正整数k为()A2017B2018C2019D2020答案C解析因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011S2 016，SkS2 008，可得，解得k2 019.故选C.5若数列an满足：a119，an1an3(nN)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6B7C8D9答案B解析因为an1an3，所以数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，所以an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有所以即k.因为kN，所以k7.故满足条件的n的值为7.6已知an为项数为2n1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.B.C.D.答案B解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.7已知等差数列an中，a10094，S20182018，则S2019等于()A2019B2019C4038D4038答案C解析因为an是等差数列，所以S2 0181 009(a1a2 018)1 009(a1 009a1 010)2 018，则a1 009a1 0102.又a1 0094，所以a1 0102，则S2 0192 019a1 0104 038.8设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1a4a799，a2a5a893，若对任意nN，都有SnSk成立，则k的值为()A22B21C20D19答案C解析对任意nN，都有SnSk成立，即Sk为Sn的最大值因为a1a4a799，a2a5a893，所以a433，a531，故公差d2，ana4(n4)d412n，当Sn取得最大值时，满足解得19n20.即满足对任意nN，都有SnSk成立的k的值为20.二、填空题9数列an的前n项和Sn3n22n1(nN)，则它的通项公式是_答案an解析当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，当n1时，a1S13122112，不符合上式，an10设Sn为等差数列an的前n项和，若a41，S510，则当Sn取得最大值时，n的值为_答案4或5解析由解得a5a14d0，S4S5且同时最大n4或5.11已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且(nN)，则_.答案解析设Ankn(7n45)，Bnkn(n3)，则n2，nN时，anAnAn1k(14n38)，bnk(2n2)，则，所以.三、解答题12设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值解(1)由ana1(n1)d及a35，a109，得解得所以数列an的通项公式为an112n，nN.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值13数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0 (nN)(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn|a1|a2|an|，求Tn.解(1)an22an1an0，an2an1an1an，an是等差数列，又a18，a42，d2，ana1(n1)d102n，nN.(2)设数列an的前n项和为Sn，则Sn8n(2)9nn2.an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.Tn14已知等差数列