江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.4大题考法—三角函数讲义.docx

第四讲 大题考法三角函数题型(一)结合三角函数定义进行化简求值主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题. 典例感悟例1如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，AB.(1)求cos 的值；(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标解(1)在AOB中，cosAOB，即cos .(2)因为cos ，所以sin .因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得cos ，因为为锐角，所以sin .所以cos()cos cos sin sin ，sin()sin cos cos sin .所以点B.方法技巧结合三角函数定义化简求值问题的解题策略(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)当求角的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件演练冲关如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan的值；(2)求2的值解：(1)由条件得cos ，cos ，、为锐角，故sin 0且sin .同理可得sin ，tan 7，tan .tan()3.tantan.(2)tan(2)tan()1，0，0，02，从而2.题型(二)三角函数求值问题主要考查在给定三角函数值的条件下，求其他角的三角函数值或角.典例感悟例2(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos2 1，所以cos2，所以cos 2 2cos21.(2)因为， 为锐角，所以(0，)又因为cos( )，所以sin( )，所以tan( )2.因为tan ，所以 tan 2.所以tan( )tan2().方法技巧三角函数求值问题的类型及解题方法给式求值给出某些式子的值，求其他式子的值解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式给值求值给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式给值求角解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角演练冲关1已知向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，且a，b共线，其中.(1)求tan的值；(2)若5cos()3cos ，0，求的值解：(1)由ab，得sin 2cos .因为，所以cos 0，所以tan 2.所以tan3.(2)由(1)知tan 2，又因为，所以sin ，cos .由5cos()3cos ，得5(cos cos sin sin )3cos ，即cos 2sin 3cos ，从而tan 1.因为0，所以.2(2018南通二调)已知sin，.(1)求cos 的值；(2)求sin的值解：(1)因为，所以，又sin， 所以cos .所以cos coscoscossinsin.(2)因为，cos ，所以sin .所以sin 22sin cos 2，cos 22cos21221.所以sinsin 2coscos 2sin.题型(三)向量与三角函数的结合主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.典例感悟例3(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.则tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.方法技巧平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的条件，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求解的是向量的模或者其他向量的表达式，经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等演练冲关1已知向量a(sin x，cos x)，b，函数f(x)ab.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若且cos，求f()解：(1)f(x)sin xcos1sin xcos xsin2x1sin 2xcos 2xsin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f()sinsincos，cos且，sin，f().2已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解：(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yf(x)t2t12，1t.t时，ymin，此时sin xcos x.由于x，故x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，coscos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.课时达标训练A组大题保分练1(2018南通模拟)已知cos ，cos()，且，.(1)求sin 2的值；(2)求cos()的值解：(1)，2.cos ，cos 22cos21，sin 2.(2)，(0，)，又cos()，sin()，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().2设函数f(x)6cos2x2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)0且b2，cos A，求a和sin C的值解：(1)因为f(x)6sin 2x3cos 2xsin 2x32cos3，所以f(x)的最小正周期为T，f(x)的值域为32，32 (2)由f(B)0，得cos.因为B为锐角，所以2B，所以2B，所以B.因为cos A，A(0，)，所以sin A .在ABC中，由正弦定理得a.sin Csin(AB)sincos Asin A.3.已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，直线x，x是其相邻的两条对称轴(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f，且，求cos 的值解： (1)由题意知，所以T.又T，所以2，所以f(x)2sin(2x)因为点在函数图象上，所以2sin2，即sin1.因为，即0，0，0，)的图象如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)f(x)f(x2)在x1,3上的最大值和最小值解：(1)由图可得A3，f(x)的周期为8，则8，即.f(1)f(3)0，则f(1)3，所以sin1，即2k，kZ.又0，)，故.综上所述，f(x)的解析式为f(x)3sin.(2)g(x)f(x)f(x2)3sin3sin3sin3cos66sin.当x1,3时，x.故当x，即x时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g6；当x，即x3时，sin取得最小值，则g(x)的最小值为g(3)63.4.如图所示，角的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，AOB为正三角形(1)若点C的坐标为，求cosBOC；(2)记f()BC2，求函数f()的解析式和值域解：(1)因为点C的坐标为，