江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.3大题考法—解三角形讲义.docx

第三讲 大题考法解三角形题型(一)三角变换与解三角形的综合问题主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.典例感悟例1(2018南京学情调研)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B.(1)若c2a，求的值；(2)若CB，求sin A的值解(1)法一(角化边)：在ABC中，因为cos B，所以.因为c2a，所以，即，所以.又由正弦定理得，所以.法二(边化角)：因为cos B，B(0，)，所以sin B.因为c2a，由正弦定理得sin C2sin A，所以sin C2sin(BC)cos Csin C，即sin C2cos C.又因为sin2Ccos2C1，sin C0，解得sin C，所以.(2)因为cos B，所以cos 2B2cos2B1.又0B，所以sin B，所以sin 2B2sin Bcos B2.因为CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sin Asinsincos 2Bcossin 2B.方法技巧三角变换与解三角形综合问题求解策略(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如ABC，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C, 以及在ABC中，ABsin Asin B等演练冲关1在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2Ccsin B.(1)求角C；(2)若sin，求sin A的值解：(1)由正弦定理及bsin 2Ccsin B，得2sin Bsin Ccos Csin Csin B，因为sin B0，sin C0，所以cos C，又C(0，)，所以C. (2)因为C，所以B，所以B，又sin，所以cos .又AB，即AB，所以sin Asinsinsincoscossin.2在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos的值解：(1)因为cos B，0B，所以sin B .由正弦定理知，所以AB5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcossin Bsin.又cos B，sin B，故cos A.因为0A，所以sin A.因此，coscos Acossin Asin .题型(二)解三角形与平面向量结合主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.典例感悟例2(2018盐城模拟)设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC面积的大小为S,32S.(1)求sin A的值；(2)若C，16，求b.解(1)由32S，得3bccos A2bcsin A，即sin A3cos A.整理化简得sin2A9cos2A9(1sin2A)，所以sin2A.又A(0，)，所以sin A0，故sin A.(2)由sin A3cos A和sin A，得cos A，又16，所以bccos A16，得bc16.又C，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.在ABC中，由正弦定理，得，即cb.联立得b8.方法技巧解三角形与平面向量综合问题的求解策略(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响演练冲关1(2018南通三调)已知ABC是锐角三角形，向量m，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求AB的值；(2)若cos B，AC8，求BC的长解：(1)因为mn，所以mncoscos Bsinsin Bcos0，又A，B，所以AB，所以AB，即AB.(2)因为cos B，B，所以sin B.所以sin Asinsin Bcoscos Bsin.由正弦定理，得BCAC843.2已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(1,2)，n，且mn1.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，求sin的值解：(1)由题意得mn2cos2A1cos A12cos2Acos A1，解得cos A或cos A1，0A.A.(2)在ABC中a2b2c22bccos A且a，得3b2c22bcb2c2bc，又bc2a2，b2c，代入整理得c22c30，解得c，b，于是abc，即ABC为等边三角形，B.sinsinsin cos cos sin .题型(三)以平面图形为背景的解三角形问题此类问题的本质还是主要考查利用正、余弦定理求解三角形或多边形的边长、角度和面积的问题. 典例感悟例3(2018南通调研)如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab(sin Ccos C)(1)求ABC；(2)若A，D为ABC外一点，DB2，DC1，求四边形ABDC面积的最大值解(1)在ABC中，因为ab(sin Ccos C)，所以sin Asin B(sin Ccos C)，所以sin(BC)sin B(sin Ccos C)，所以sin Bcos Ccos Bsin Csin Bsin Csin Bcos C, 所以cos Bsin Csin Bsin C，又因为C(0，)，故sin C0，所以cos Bsin B，即tan B1. 又B(0，)，所以B.(2)在BCD中，DB2，DC1，BC21222212cos D54cos D.又A，由(1)可知ABC，所以ABC为等腰直角三角形，SABCBCBCBC2cos D， 又SBDCBDDCsin Dsin D, 所以S四边形ABDCcos Dsin Dsin.所以当D时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为.方法技巧以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路建联系在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形用定理“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理演练冲关1(2018苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，且CBE，BEC，BCE成等差数列(1)求sinCED；(2)求BE的长解：设CED.因为CBE，BEC，BCE成等差数列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BEC.(1)在CDE中，由余弦定理得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，由题设知7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得，于是sin ，即sinCED.(2)由题设知0，由(1)知cos ，又AEBBEC，所以cosAEBcoscoscos sinsin cos sin .在RtEAB中，cosAEB，所以BE4.2(2018盐城中学调研)如图， 在ABC中，B，BC2，点D在边AB上，ADDC，DEAC，E为垂足(1)若BCD的面积为，求CD的长；(2)若ED，求A的大小解：(1)由已知得SBCDBCBDsin B，又BC2，B，BD，在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos B，CD.(2)在RtCDE中，CD.ADDC，ADCE，CD.在BCD中，由正弦定理，得，又BDC2A，得，CD，CD，解得cos A，A.课时达标训练A组大题保分练1(2018徐州摸底测试)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2c2bcos A.(1)求角B的大小；(2)若b2，ac4，求ABC的面积解：(1)因为a2c2bcos A，由正弦定理，得sin A2sin C2sin Bcos A.因为C(AB)，所以sin A2sin(AB)2sin Bcos A.即sin A2sin Acos B2cos Asin B2sin Bcos A，所以sin A(12cos B)0.因为sin A0，所以cos B.又因为0B，所以B.(2)由余弦定理a2c22accos Bb2及b2得，a2c2ac12，即(ac)2ac12.又因为ac4，所以ac4，所以SABCacsin B4.2(2018海门中学周练)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a1，b2，BA.(1)求sin A的值；(2)求c的值解：(1)在ABC中，因为a1，b2，BA，由正弦定理得，于是2sin Asin Acos cos Asin ，即3sin Acos A，又sin2Acos2A1，所以sin A.(2)由(1)知，cos A，则sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A，在ABC中，因为ABC，BA，所以C2A.则sin Csinsincos 2Acossin 2A.由正弦定理得，c.3(2018盐城三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线(1)若a4，b2，AD1，求边c的长；(2)若c2，求角B的大小解：(1)在ADC中，因为AD1，AC2，DCBC2，由余弦定理得cos C.故在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C42222426，所以c.(2)因为AD为边BC上的中线，所以()，所以c22c2cbcos A，cbcos A.ABBC，B90.4.如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，AD1，BD2，CAD，tanADC2.求：(1)CD的长；(2)BCD的面积解：(1)因为tanADC2，所以sinADC，cosADC.所以sinACDsinsinsinADCcoscosADCsin，在ADC中，由正弦定理得CD.(2)因为ADBC，所以cosBCDcosADC，sinBCD.在BDC中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得BC22BC350，解得BC7(负值舍去)，所以SBCDBCCDsinBCD77.B组大题增分练1(2018苏北四市期初调研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值解：(1)由正弦定理，得.从而2sin Acos Csin B可化为2acos Cb.由余弦定理，得2ab.整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化为sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理，得4sin Acos C2cos Asin C，因为ABC是斜三角形，所以sin Acos Acos C0，所以.2(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由题设知，ADB90，所以cos ADB .(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.3(2018苏锡常镇调研)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，且4S(a2c2b2)(1)求B的大小；(2)设向量m(sin 2A,3cos A)，n(3，2cos A)，求mn的取值范围解：(1)由题意，有4acsin B(a2c2b2)，则sin Bcos B.因为sin B0，所以cos B0，所以tan B.又0B，所以B.(2)由向量m(sin 2A,3cos A)，n(3，2cos A)，得mn3sin 2A6cos2A3sin 2A3cos 2A33sin3.由(1)知B，所以0A.所以2A，所以sin，所以mn，即mn取值范围是.4在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos B2cb.(1)若cos(AC)，求cos C的值；(2)若b5，5，求ABC的面积；(3)若O是ABC外接圆的圆心，且m，求m的值解：由2acos B