2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用课件苏教版.pptx

3.4 导数在实际生活中的应用,第3章 导数及其应用,学习目标,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,1.优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题.( ) 2.生活中的优化问题都必须利用导数解决.( ) 3.生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点. ( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 几何中的最值问题,例1 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.,(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？,解答,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 答 若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,解答,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,令V0，得0x20； 令V0，得20x30.,反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,解答,跟踪训练1 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab. (1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；,解 当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x， 周长为2608x. 所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，,解答,(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.,所以V4(x360x2900x)，x(0,30). 记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)， 则f(x)12(x10)(x30)， 令f(x)0，得x10，或x30(舍去).,当x(0,30)时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值. 答 当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米.,类型二 实际生活中的最值问题,命题角度1 利润最大问题 例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，,解答,(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解 当0x10时，,当x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,当x(0,9)时，W0；当x(9,10时，W0. 所以当x9时，W取得最大值，,综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元. 答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润收入成本； (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,210(x3)(x6)2,3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,命题角度2 费用(用料)最省问题 例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,而建造费用为C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和,解答,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,当00，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,解答,跟踪训练3 如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草 房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点， 现打算在扇形BOP内种花，PQOA，垂足为Q，PQ将 扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为 观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造 价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设AOP，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f(). (1)求f()关于的函数关系式；,解答,(2)求当为何值时，总造价最小，并求出最小值.,当变化时，f()，f()的变化情况如下表：,达标检测,1.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入 该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y 则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时.,答案,1,2,3,4,5,解析,8,当t(6,8)时，y0；当t(8,9)时，y0， 故t8时，y取最大值.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_ m3. 解析 设长方体的底面边长为x m，则高为(62x)m， 0x3，则长方体的体积为V(x)x2(62x)6x22x3， V(x)12x6x2. 令V(x)0，得x2或x0(舍去). 当x(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x(2,3)时，函数V(x)是减函数， 当x2时，V(x)max428(m3).,8,1,2,3,4,5,答案,解析,300,1,2,3,4,5,令P(x)0，得x300.,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,1,2,3,4,5,答案,解析,160,1,2,3,4,5,令y0，得x2. 因为当02时，y0， 所以x2是函数y的极小值点，也是最小值点. 所以当x2时，ymin160(元).,5.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系式为Q (x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解 由题意知，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3x)万元.销售收入是(32Q3)150%x50%，,当x100时，y0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.,(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,令y0，则x22x630，解得x7或x9(舍去). 又当x(0,7)时，f(x)0；当x(7，)时，f(x)0， 所以f(x)极大值f(7)42. 又因为在0，)上只有一个极值点，所以f(x)最大值f(7)42. 答 当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数