现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据.pdf

第四章 Lyapunov 稳定性理论 1 第四章 第四章 Lyapunov 稳定性理论 稳定性理论 4-1 试确定下列二次型是否正定。 (1) 312321 2 3 2 2 2 1 2624)(xxxxxxxxxxv+= (2) 2321 2 3 2 2 2 1 26410)(xxxxxxxxv+= (3) 312321 2 3 2 2 2 1 422410)(xxxxxxxxxxv+= 【解】 ： （1） 04 131 341 111 , 03 41 11 , 01, 131 341 111 = =P 二次型函数不定。 (2) 03 410 1103 031 , 01 103 31 , 01, 410 1103 031 = = = =P 二次型函数正定。 4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 312321 2 31 2 21 2 11 242)(xxxxxxxcxbxaxv+= 【解】 ： 312321 2 31 2 21 2 11 242)(xxxxxxxcxbxaxv+= 第四章 Lyapunov 稳定性理论 2 x c b a xT = 1 1 1 21 21 11 0 21 21 11 , 0 1 1 , 0 1 1 1 1 1 1 c b a b a a 满足正定的条件为： + 111111 11 1 44 1 0 cabcba ba a 4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。 ; 10 01 )4(; 11 11 )3( ; 32 11 )2(; 11 10 ) 1 ( xxxx xxxx = = = = ? ? 【解】 ： （1） 设 2 2 2 1 5 . 05 . 0)(xxxv+= = =+= )0(0 )0(0 2 2 2 221212211 )( x x xxxxxxxxxxxv?为半负定。 又因为0)(x v ? 时，有0 2 x, 则0 2 x?，代入状态方程得：0 1 x. 所以系统在0x时，)(x v ? 不恒为零。 则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 （2） 设 2 2 2 1 5 . 05 . 0)(xxxv+= 21 2 2 2 12122112211 33)32()()(xxxxxxxxxxxxxxxv+=+=+=? 0 35 . 1 5 . 11 , 01 35 . 1 5 . 11 0，075. 0 15 . 0 5 . 01 =，05 . 0 105 . 0 015 . 0 5 . 05 . 01 =，所以P正定。 Pxxxv T =)(正定。 )()()(kxPPGGkxkv TT = = 001 323 031 001 323 031 105 . 0 015 . 0 5 . 05 . 01 030 023 131 PPGGT = 85 . 17 5 . 165 . 4 75 . 48 因为 80，075.27 65 . 4 5 . 48 =，05 . 4 85 . 17 5 . 165 . 4 75 . 48 =，所以P正定。 )(kv为正定，所以系统在原点不稳定。 4-5 设离散系统状态方程为 0)( 0 2 0 100 010 ) 1( =+kkx k kx，求平衡点0= e x渐近稳定 时k值范围。 【解】 ： 方法一： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。 第四章 Lyapunov 稳定性理论 5 0 2/0 10 01 )(= = zk z z AzIzf 0 2k-0.5 2k0.5 3 2 1 = = = z z z 2012k0.5 20 0 4 12 01 4 12 2 2 k k k 时系统渐近稳定。 4-6 设系统的状态方程为 = 2 1 2 1 5 . 12 10 x x x x ? ? ，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然 后再求从封闭曲线100)(=xv边界上的一点到封闭曲线05. 0)(=xv内一点的响应时间上 限。 【解】 ： 令 IQ = IPAPAT=+ 求矩阵P，即 = + 10 01 5 . 12 10 5 . 11 20 2221 1211 2221 1211 PP PP PP PP = 2 1 4 1 4 1 4 5 . 5 P 所以李氏函数为： 2 221 2 1 5 . 05 . 0 4 5 . 5 )(xxxxxv+= )()( 2 2 2 1 xxxv+=? 0 11 = IPIQP 0=PI 则 3062. 2 1= ，6938. 0 2= 955.10 100 05. 0 ln 1 ),( ),( ln 1 200min 0 = txv txv tt 4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。 第四章 Lyapunov 稳定性理论 7 += += += = )( )( )2() 1 ( 2 2 2 12212 2 2 2 11211 3 2212 3 1211 xxxxxx xxxxxx xxxx xxxx ? ? ? ? 【解】 ： （1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得： = = = = = = = 11 11 311 131 0 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 1 1 0 x x x T x x x f x f x f x f x f A 022 11 11 2 =+= =ss s s AsI 系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。 （2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得： = + + = = = = = = 11 11 3121 2131 0 2 2 2 121 21 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 1 1 0 x x x T xxxx xxxx x f x f x f x f x f A 022 11 11 2 =+= + + =ss s s AsI 系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。 4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a、b的取值范围（其中二者均大于 或等于零，但二者不同时为零） 。 = = 3 2212 21 bxaxxx xx ? ? 【解】 ： = = = = = = = abxa x f x f x f x f x f A x x x T 1 10 31 10 0 2 2 0 2 2 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 2 += + =ass as s AsI 结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a大于 0, b任意（同时还需满足题目要 求） 。 第四章 Lyapunov 稳定性理论 8 4-9 试证明系统 = = 2 2 12112 21 xxaxax xx ? ? 在0, 0 21 aa时是全局渐近稳定的。 【解】 ： 求平衡点: = = = = 0 0 0 0 2 1 2 2 12112 21 e e x x xxaxax xx ? ? 设 2 2 2 11 5 . 05 . 0)(xxaxv+= )( 2 2 1221221122111 )(xxaxaxxxaxxxxaxv+=+=? 0 2 2 2 12 )( a，)(xv正定；0 2 a，)(xv?负定，系统渐近稳定。 因为x时，+= 2 2 2 11 5 . 05 . 0)(xxaxv，所以系统又是大范围渐近稳定。 4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点0= e x处为大范围渐近稳定时， 参数a 和b的取值范围。 += += 3 2212 211 bxxxx xaxx ? ? 【解】 ： + = = = 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 311 1 bx a x f x f x f x f x f J T 令 IP = )()()(xfxfxv T = )( 311 1 )(2)()()( 2 2 xf bx a xfxfJJxfxv TTT + =+=? 系统在0= e x处渐近稳定的条件是)(x v ? 负定。而)(x v ? 负定的条件为： 第四章 Lyapunov 稳定性理论 9 013 311 1 , 0 2 22 2 += + += + + kk时)(xv?为负定，从而求得618. 2382. 0，0，0，0 ，0a试确定平衡状态的稳定性。 【解】 ： 求平衡点: =+= = 0)1 ( 0 12 2 22 21 xxxax xx ? ? = = 0 0 2 1 e e x x 线性化方程为: = = 122 21 xaxx xx ? ? = a A 1 10 特征方程为01)(=+a 0a时特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。 第四章 Lyapunov 稳定性理论 15 4-17 非线性系统状态方程为 = = 2 3 12 21 xxx xx ? ? 试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 【解】 ： = = = 2 3 1 2 2 1 2 1 )( )( )( xx x xf xf xf x x x ? ? ? = = 13 10)( )( 2 1 xx xf xJ 设 xPxxv T ?=)(， = 2212 1211 PP PP P xxPJPxJxxQxxv TTT ?)()()(+= 令IQ=，则)(xv?为负定。 = + = 10 01 13 10 11 30 2 12212 1211 2212 1211 2 1 xPP PP PP PP x Q += = += 2 1 6 1 6 1 2 1 2 3 6 1 2 1 22 2 1 12 2 1 2 1 11 x P x P x x P + + = 2 1 6 1 6 1 6 1 2 1 2 3 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xx x x x P 因为0 2 1 2 3 6 1 2 1 2 1 +x x ， 而 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 1 6 1 ) 2 1 6 1 )( 2 1 2 3 6 1 ( xxx x x P+= 0 4 1 4 3 6 1 4 1 2 1 2 1 +=x x P，P正定，所以系统在原点处渐近稳定。 += 2 2 2 1 xxx时， 第四章 Lyapunov 稳定性理论 16 2 2 3 1 2 1 2 3 12 2 1 2 2 2 1 2 1 )( 2 1 6 1 ()( 6 1 2) 2 1 2 3 6 1 ()(xx x xxx x xx x xv+= += 2 2 3 1 4 1 2 2 2 2 2 1 )( 2 1 6 1 2 1 2 3 )(xxxxxxxv 所以在原点大范围渐近稳定。 4-18 试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。 += = 22112 21 )()(xtaxtax xx ? ? 。 【解】 ： 设 = + + = 2 1 222121 212111 V V xaxa xaxa V 2 22222122121212 2 1211 2 2122111 )()()()()()(xataxxataxxataxataxaxxaxVxv T +=? 2 2222122122121211 2 1211 )()()()(xataaxxataataaxata+= 若选 0, 1),( 211222111 =aaataa 则0 21 1 2 1