高等数学练习册及答案.pdf

专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 1 第一章第一章第一章第一章 函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限 1 函数函数函数函数 一、单项选择题 1、下面四个函数中，与 y=|x|不同的是( A ) （A）| lnx ey = （B） 2 xy = （C） 44 xy = （D）xxysgn= ）上是（，在其定义域、Bxxf)()3(cos)(2 2 += 非周期函数。的周期函数； 最小正周期为 的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为 )( 3 2 )( 3 )(3)( DC BA ）函数的是（ 、下列函数中为非偶数B3 )1lg( 1 )(4343)( arccos)( 12 12 sin)( 2 2 22 xx x x yDxxxxyC xyBxyA x x + + =+= = + = ； ； 4、是 函数)0(ln)( + =a xa xa xf（A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数； 偶函数； 奇函数； aDC BA )()( )()( 二、填空题 1、则时且当设 zxzyyxfyxz , , 0 , )( 2 =+= . 解： 2 , 0 xzy=时因 2 )(xxfx=+ 故有 xxxf= 2 )( )()()( 2 yxyxyxf=)()( 2 yxyxyxz+= 2 )(2yxy+= 2、的定义域为，则设 )()65lg(56)( 22 xfxxxxxf+= 解：由 解得 ，65016 2 + xxx 由 解得 或xxxx 2 56023+ lim( ),lim ( ), xaxa f xAxB =则必有 B 。 （A）AB (B)AB (C)|A|B (D)|A|B| 3、 1000 ) 1 1 (lim + + n x n 的值是 A 。 (A)e (B)e1000 (C)ee1000 (D)其它值 4、 tan lim sin x x x = B 。 (A)1 (B) 1 (C)0 (D) 5、= )sin 11 sin(lim 0 x xx x x A 。 (A) 1 (B)1 (C)0 (D)不存在 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ nn nnnnnnnn n axx bxyzyxzyz x A abB ab C abD ab 6、命题，若数列单调且有下界，则必收敛； 命题，若数列、满足条件：，且，都有收敛， 则数列必收敛 则 D 、都正确；正确，不正确； 不正确，正确；，都不正确 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 6 0 tan 0 ( )lim( ) 30 x kx x f xf xkCx xx = + ， 7、设，且存在，则 的值为 ， 1234ABCD ； ； ； 0 sin lim3 (2) 3 366 2 x kx kD x x ABCD = + 8、已知，则 的值为 ； ； ； sin lim 101 x x C x ABCD = 9、极限 ； ； ； 21 1 2 2 21 lim 21 1 x x x D x ABeCeDe + 10、极限的值是 ； ； ； 2222 2212 21 lim(1)lim(1) 11 lim(1)lim(1) xx xx xx xx AeBe xx CeDe xx + +=+= +=+= 11、下列等式成立的是B ； ； ； 1 0 lim(1) 1 112 2 x x kxekC ABCD += 12、已知，则 的值为 ； ； ； 1 0 11 22 lim(cos ) 01 x x xC ABeCDe =13、极限 ； ； ； 7 无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较 一、单项选择题 1、x0 时，1cosx 是 x2的 B 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当 x0 时， （1cosx）2是 sin2x 的 A 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时cba xcbxax x, 1 11 , 2 + C 。 (A)1, 1, 0=cba (B) 0,1,abc=为任意常数 (C) 为任意常数cba, 0 (D) 都可以是任意常数cba, 4、1x时与无穷小x1等价的是 C 。 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 7 (A)() 3 1 2 1 x (B) ()x1 2 1 (C) () 2 1 2 1 x (D) x1 5下列极限中，值为 1 的是 C 。 (A) x x x sin 2 lim (B) x x x sin 2 lim 0 (C) x x x sin 2 lim 2 (D) x x x sin 2 lim 6、 1 00 ( )( ) lim0 lim0(0) kk xx f xg x ck xx + =若， 0( )( )xf xg x则当，无穷小与的关系是 D 。 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Af xg x Bg xf x Cf xg x Df xg x 为的高阶无穷小； 为的高阶无穷小； 为的同阶无穷小； 与比较无肯定结论 3 0 tansin lim 11 0 62 x xx x ABCD 7、极限的值为C ； 02sinsin2 n xxxmxmn8、当时，无穷小量与等价，其中 ， 为常数，则数组 的值为，）中，（nmnm C (2 3)(3 2)(13)(31)ABCD，； ，； ，； ， 0 1 cos3 lim sin3 123 0 632 x x xx ABCD 9、极限的值为D ； ； ； 8 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 一单项选择题 1、)(xf在点 0 x处有定义是)(xf在点 0 xx=连续的 A 。 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 2、 连续的在是 00 )()()(lim 0 xxxfxfxf xx = C 。 （A）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 3、 x xxfx 1 sinsin)(0=是的 A 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 8 4、 的是则)(1 , 1,2 , 1, 1 1 )( 2 xfx xx x x x xf= = = = = KDkCkBkA Ckx x x x x xf k ） 的最大的取值范围是（点连续，则 ，在 ， ， 、若函数 是第二类是第一类， 是第一类；是第二类， 都是第二类；，都是第一类；， ）型为（ ，则此函数间断点的题、的间断点为、函数 21 21 2121 21 23 1 10 2 2 = = = = + = xxD xxC xBxA Dx xx x y 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 9 cos 2 11( )01( ) (1) 01 01 01 01 x f xxf xC x x Axx Bxx Cxx Dxx = = = = = 、设，且， 为的二个间断点，则间断点的类型为（ ） ，都是第一类间断点； 为第一类间断点，为第二类间断点； 为第二类间断点，为第一类间断点； ，都是第二类间断点 0 0 00 0 0 00 0 00 00 12( ) ( ) lim()()0 ( ) lim( )() ( ) lim()()0 ()() () limlim x xx x xx yf xxC Af xxf x Bf xf x Cf xxf xx f xxf xy D xx = += = += + = 、不能导出在 处连续的极限式是 存在 9 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 一单项选择题 2 2 2 241 1( )(2)0(0) ( ) 0( )( )() x f xxxfA ABeCeDe =+=、要使在处连续，应补充定义的值为 任意， 处处连续，则有 ，当 ，当 、 baD b aC baBbaA A xebax xxbxae xf x x 0)( 1 )( 2)()( 0)( 0)sincos( )(2 2 = = + + = 4 1 4 )cos1 (lim3 22 sec2 、 DCeBeA Dx x x = 6 1 4 1 3 1 2 1 )1ln( cos1 lim4 0 的值为、极限 DCBA C xx x x + e DeCBA Dx x x 1 01 )(coslim5 1 0 的值是、极限 + 10 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 10 一单项选择题 1、函数,)(baxf在上有最大值和最小值是,)(baxf在上连续的 A (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。 0123 )30(0132 3 内的实根的个数为，在、方程 DCBA Bxx=+ 3、下列命题错误的是 C (A) ,)(baxf在上连续，则存在)()()(, 2121 xfxfxfbaxx使 (B) ,)(baxf在上连续，则存在常数 M，使得对任意Mxfbax)(,都有 (C) ,)(baxf在内连续，则在（a,b）内必定没有最大值； (D) ,)(baxf在内连续，则在（a,b）内可能既没有最大值也没有最小值； 4对初等函数来说，其连续区间一定是 A （A）其定义区间 （B） 闭区间 （C） 开区间 （D） （),+ )( ， ， ， ， 值的区间是必能取到最大值和最小则 是任意实数，且，上连续，在、设 )( )( )()(5 + （D）dyy 2、若的是关于处的在点时当可微xdyyxxxf,0,)( A 。 （A）高阶无穷小 （B）等价无穷小 （C）同阶无穷小 （D）低阶无穷小 3、dyxfy则可微,)(= B 。 （A）与x无关 （B）为x的线性函数 （C）当0x时是x的高阶无穷小（D）当0x时是x的等价无穷小 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 14 4、当函数处有增量在点 0 2 )(xxxf=2 . 0=x，对应函数增量的主部为-1.2 时，x0= B 。 （A）3 （B）-3 （C）0.3 （D）-0.3 二将适当的函数填入下列括号内，使等式成立 （1） d( 2x+c )=2dx (2) d( ln(x+1) +c )= dx x+1 1 (3) d( cx +2 )= dx x 1 (4) d( 2 1 2 x ec + )=dxe x2 (5) d( cwx w +cos 1 )=wxdxsin (6) d( 1 tan3 3 xc+ )= 2 sec 3xdx 第三章第三章第三章第三章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用中值定理与导数应用中值定理与导数应用 1 中值定理中值定理中值定理中值定理 一单项选择题 1、设 1 0,( ),( )( )( )()abf xaxbf bf afba x B (A) ! 2 1 ; (B); ! 2 )(“ 0 xf (C);(“ 0 xf (d) .),( ! 2 1 0之间 与在xxf 2、的麦克劳林公式是 x e B (A);(1 2n xoxx+ (B) 1+ 2 (); 2! n n xx xo x n +L (C) 22 1();xxo x+ (D)1+ 2 (); 2 n n xx xo x n +L 4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 一 单选题 1、)( xf 的是)()()( xgxfxg D (A) 充分条件； （B）必要条件； （C）充要条件； （D）既非充分也非必要条件。 2、则,ln)(xxxf= A （A）在;) 1 , 0(内单调减 e （B）在;) , 1 (内单调减+ e （C）在(0,+ )内单调减; (D)在（ 0,+）内单凋增； 3、方程则, 01= xex B (A) 没有实根； （B）有仅有一个实根； （C） 有且仅有两个实根； （D）有三个不同实根。 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 17 4、若函数( )0,)( )0,(0)0,0,)( )f xfxff x+ D 。 （A）单调减、凹曲线（B）单调减、凸曲线（C）单调增、凹曲线（D）单调增、凸曲线 8、要使点（1，3）为曲线 y=ax3+bx2的拐点，则 a, b 的值应为 B 。 （A） 2 3 , 2 9 =ba （B） 2 9 , 2 3 =ba （C）6, 3=ba ( D）1, 2=ba 5 函数的极值与最值函数的极值与最值函数的极值与最值函数的极值与最值 一单选题 1、设, 1 )( )()( lim 2 = ax afxf ax 则在点 a 处有 B 。 （A）)(xf的导数存在且( )0fa （B）)(xf取得极大值 （C）)(xf取得极小值 （D）)(xf导数不存在 2、 设 000 )(, 0)( , 0)(,042 )(xxfxfxfyyyxfy在点则且若的一个解是方程=+= A 。 （A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个邻域内单调增（D）某个邻域内单调减 （提示：取得最大值，=+0)(4)(“0)( 0)(, 042 000 xfxfxfxfyyy） 3、设)(xf在(,) +内有定义，)()0( 0 xfx是的极大值点，则 B 。 （A）x0必是 f(x)的驻点 （B）-x0必是()fx的极小值点 （C）-x0必是-f（x）的极小值点 （D）对一切 x 都有 f(x)f(x0) 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 18 4、设)(xf在 2 =x的某一邻域内可导，且 则, 1 cos )( lim, 0 2 2 = x xf f x B 。 （A） ( ) 2 ff x )必为的一个极大值 （B）() 2 f 的一个极小值必为)(xf （C）)(xf在该邻域内单调增加 （D）)(xf在该邻域内单调减少。 5、 “当时当且可导在, 0)( 0, 0)( ,),()( 0000 0,则曲线 x xy 1 sin= A 。 (A) 仅有水平渐近线 （B）仅有铅直渐近线 （C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，又无铅直渐近线 2、曲线 2 2 1 1 x x e e y + = D 。 （A） 没有渐近线 （B）仅有水平渐近线 （C） 仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线 3、指出曲线1 1 = x ey的渐近线 C 。 （A）x=1 为铅直渐近线，y=0 为水平渐近线（B）x=1 为铅直渐近线，y=1 为水平渐近线 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 19 （C）x=0 为铅直渐近线，y=0 为水平渐近线（D）x=0 为铅直渐近线，y=1 为水平渐近线 7 曲率曲率曲率曲率 一 单选题 1、曲线 = = = Kt tty tx 处曲率在1 ,3 ,3 3 2 B （A）0 （B） 6 1 （C）1 （D）6 2、抛物线34 2 +=xxy在顶点处的曲率及曲率半径为 B 。 （A）顶点（2，-1）处曲率半径为 2； （B）顶点（2，-1）处曲率半径为 2 1 （C）顶点（-1，2）处曲率半径为 1； （D）顶点（-1，2）处曲率半径为 2 第四章第四章第四章第四章 不不不不 定定定定 积积积积 分分分分 4-1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一填空题 1若在区间上)()(xfxF=，则 F (x)叫做)(xf在该区间上的一个 原函数 , )(xf的 所有原函数叫做)(xf在该区间上的 不定积分 _。 2F (x)是)(xf的一个原函数，则 y= F (x)的图形为 f (x)的一条 积分曲线 。 3 因为dx x xd 2 1 1 )(arcsin = ， 所以 arcsin x 是_ 2 1 1 x _的一个原函数。 4若曲线 y= (x)上点(x, y)的切线斜率与 3 x成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该 曲线方程为_7 4 +=xy _ 。 5=+ xxxd)sin(tan 2 _cxxx+costan _ 二单项选择题 1c为任意常数，且)( xF=f (x),下式成立的有 B 。 （A） =dxxF)( f (x)+ c; （B） dxxf)( = F (x)+ c; 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 20 （C） =dxxF)( )( xF+c; (D) dxxf)( = F (x)+ c. 2. F (x)和 G (x)是函数 f (x)的任意两个原函数，f (x)0，则下式成立的有 B 。 （A）F (x)=c G (x); （B）F (x)= G (x)+ c; （C）F (x)+ G (x)= c; (D) )()(xGxF= c. 3下列各式中 C 是|sin)(xxf=的原函数。 (A) |cos xy= ; (B) |cos|xy=; (c) ; 0, 2cos 0,cos ) c x + 1 arcsin 16.若 =+=)0_()(,)()(adxbaxfcxFdxxf则 cbaxF a + )( 1 二单项选择题 1. =dxxf)3( _ _ _. B (A) ;)( 3 1 cxf+ (B) ;)3( 3 1 cxf+ (C);)(3cxf+ (D);)3(3cxf+ 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 22 2. ._ )(1 )( 2 = + dx xf xf C (A) ;| )(1|lncxf+ (B) ;|)(1|ln 2 1 2 cxf+ (C) ;)(arctancxf+ (D) .)(arctan 2 1 cxf+ 3.= dx x x 2 1 .B (A) Cxx x +|ln2 1 (B) Cxx x +|ln2 1 (C) Cx x +|ln2 1 (D) Cxx+|ln 4. = . 2 3223 dx x xx . C (A) ;) 2 3 ( 2 3 ln23cx x + (B) cxx x + 1 ) 2 3 (23 (C) cx x + 2 3 2ln3ln 2 3 (D) c x + 2 3 2ln3ln 2 3 5. = + dx xx x )1 ( 1 7 7 _. A (A) ;| )1 ( |ln 7 1 27 7 c x x + + (B) ;| 1 |ln 7 1 7 7 c x x + + （C） ;| )1 ( |ln 6 1 26 6 c x x + + (D) ;| 1 |ln 6 1 6 6 c x x + + 6.=._|dxx C (A) ;| 2 1 2 cx+ (B) ; 2 1 2 cx+ (c) ;| 2 1 cxx+ (D) ; 2 1 2 cx + 7. = + + ._ 1 1 3 dx e e x x C (A) ; 2 1 2 cxee xx + (B) ; 2 1 2 cee xx + (C) ; 2 1 2 cxee xx + (D) . 2 1 2 cee xx + 8.xe x 2sin 2 sin1+ 的全体原函数是_. C 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 23 (A) e ;sin1 2 x+ (B) e ;sin1 2 cx+ (C) e x 2 sin1+ +c (D) ec x + 2 sin1 4-3 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法 一单项选择题 1.= ._)(dxxf x A (A)x;)()( cxfxf+ (B) x;)()( cxfxf+ (c) x;)()( cxfxf+ (D) .)()( dxxfxxf 2.=._)ln(tansindxxx A (A)cosx ln(tanx)+ln|tan;| 2 c x + (B) cosx ln(tanx)+ln|cscxcotx|+c; (c) ln(tanx)+ln|tan;| 2 c x + (D)cosx ln(tanx)+ln|sinx|+c. 3_sin 2 = dxxx D (A) ;2sin 4 1 4 1 2 cxxx+ (B);2cos 8 1 4 1 2 cxx+ (C) xcosxsinx+c; (D) ;2cos 8 1 2sin 4 1 4 1 2 cxxxx+ 4. =._ arcsin 2 dx x x D (A) ;|cotcsc|lnarcsin 1 cxxx x + (B);|csccot|lnarcsin 1 cxxx x + (C);| 11 |lnarcsin 1 2 c x x x x + (D) ;| 11 |lnarcsin 1 2 c x x x x + + + 5. =._ arctan dx e e x x B (A);)1ln( 2 1 arctan 2 ceee xxx + (B);arctan)1ln( 2 1 2 cxeee xxx + (C)arctan;) 1(cee xx + (D);)1ln( 2 1 arctan 2 cexee xxx + 6_) ln ( 2 = dx x x A (A);)2ln2(ln 1 2 cxx x + (B); 1 ln2ln 2 c x xx+ (C) ; 1 ln 2 ln 1 2 c x x x x x + (D).)1ln( 2 1 arctan 2 cexee xxx + 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 24 7=._)(arcsin 2dx xB (A)arcsinx(x arcsinx;2)12 2 cxx+ (B)arcsinx(x arcsinx+2;2)1 2 cxx+ (C)arcsinx(x arcsinx+2;)1 2 cx+ (D)arcsinx(x arcsinx+2;)21 2 cx+ 4-4 有理函有理函有理函有理函数的积分数的积分数的积分数的积分 一单项选择题 1 = + ._ 45 24 4 dx xx x A (A) ;arctan 3 1 2 arctan 3 8 cx x x+ (B) ; arctan3 1 c x x+ (C) ln ;) 1 4 ( 2 2 c x x + + + (D) . arctan3 8 c x x+ 2= ._ 12 24 dx xx x D (A) ;| ) 12( ) 12( |ln 24 1 2 2 c x x + + + (B) ;| ) 12( ) 12( |ln 24 1 2 2 c x x + + + (C) ;| ) 12( ) 12 |ln 24 1 2 2 c x x + + + (D) 2 2 112 ln |. 4 212 x c x + + 3 = + _ 3 8 3 dx x x B (A); 3 arctan 34 1 2 c x + (B)c x + 3 arctan 34 1 4 (C) c x + 3 arctan 32 1 4 (D) c x + 3 arctan 32 1 2 4 ._ )2( 10 = + xx dx C (A) ln )2( 10 +x dx +arctanx; 5 c+ (B);) 2 ln( 2 1 10 10 c x x + + (C) ;) 2 ln( 20 1 10 10 c x x + + (D) 6 1 ln(c x x + + ) 2 10 5 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 25 5 = + ._ 52 23 2 dx xx x A (A) 2 311 ln |25|arctan; 222 x xxc + (B) ; 2 1 tan 2 3 2 c x x+ + (C) ; 2 1 arctan 2 1 )52( 2 3 2 c x xx+ + (D) ln|xc x x+ + 2 1 tan|52 2 6 的全体原函数 xsin1 1 + 是_。B (A) tanx ; sin 1 c x + (B) ; 2 tan1 2 c x + + (C) ; sin 1 tanc x x+ (D) tanx+ c x + cos 1 7若 = + =_, 1 1 ) 1 1 , 1 ()cos,(sin 222 2 22 udu uuu u RdxxxR则 C (A) tan 2 x (B) cot 2 x (C) tanx (D) cotx 8 = + ._ cossin cossin 44 dx xx xx B (A);)2arctan(cos 2 1 cx + (B)cx +)2arctan(cos 2 1 (C) 2 1 arctan(cos4 )x+c, (D) .| 12sin 12sin |ln 2 1 c x x + + 9 = + ._ cos1 cos1 dx x x C (A) x+2cotx+cscx+c; (B) -x-2cotx+c; (C) -x+2 (cscx-cotx)+c; (D) -x+cscx-cotx+c 10 ._) sin 1 cotcsc2(sin 3 =+ dx x xxx B (A) 2xsinxcx +cot (B) 2xcxx+cotsin (C) 2;cotsincxx+ (D) cxxx+cotcsc 第五章第五章第五章第五章 定定定定 积积积积 分分分分 5-1 定积定积定积定积分的概念与性质分的概念与性质分的概念与性质分的概念与性质 一、填空题 1 )(xf在a,b上可积的充分条件是 连续 。 专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 26 2 nn k n k n = 1 lim用定积分表示可表示成dxx 1 0 。 3 由定积分的几何意义知 xdxsin= 0 ，cosxdx = 0 。 4 定积分dxxa a a 22 的几何意义是 上半圆 22 xay= 与x轴围成封闭图形的 面积。 二单项选择题 1 定积分 b a dxxf)(表示和式的极限是 。 D （A） 、 )( 1 lim ab n k f n ab n kn = （B） 、 )( 1 ( 1 lim ab n k f n ab n