信息率失真函数的基本概念.ppt

2019/6/5,1,第4章 信息率失真函数,我们总喜欢去验证别人对我们许下的诺言，却很少去验证自己给自己许下的诺言。,2019/6/5,2,信息率失真函数,主要内容： 限失真信源编码定理 信息率失真函数 保真度准则下的信源编码定理 教学基本要求： 掌握率失真函数的定义、性质、计算 掌握保真度准则下的信源编码定理 重点和难点： 率失真函数(离散信源，连续信源)的计算 保真度准则下的信源编码定理,2019/6/5,3,本章主要内容,4.1 基本概念 4.2 离散无记忆信源R(D)的计算 4.3 连续无记忆信源的R(D)的计算 4.4 信道容量和信息率失真函数的比较 4.5 保真度准则下的信源编码定理,2019/6/5,4,理论上“消息完全无失真传送”的可实现性 信道编码定理：无论何种信道，只要 H(X)=C 则传输必失真。 实际上“消息完全无失真传送”的不可实现性 要做到无失真信源编码，要求H(X)RC；实际的信源常常是连续信源，连续信源的绝对熵无穷大,要无失真传送，则信息率R也需无限大，信道容量C也必须为无穷大。 而实际信道带宽是有限的，所以信道容量受限制。因此无法满足无失真传输的条件，因此传输质量必然受影响。,2019/6/5,5,有些失真没有必要完全消除（限失真信源编码） 实际生活中，人们一般并不要求获得完全无失真的消息，通常只要求近似地再现原始消息，即允许一定的失真存在。 打电话，即使语音信号有一些失真，接电话的人也能听懂。 放电影：理论上需要无穷多幅静态画面，由于人眼的视觉暂留性，实际上只需要每秒放映24幅静态画面，视觉上就会感觉是连续的。 信息率失真理论信息率失真函数 香农定义了信息率失真函数R(D) 定理指出： 在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息率可以压缩到R(D).,2019/6/5,6,信息率失真函数极小值问题,I(X;Y)是P(X)和P(Y/X)二元函数。 在讨论信道容量时： 固定P(Y/X), I(X;Y)是P(X)的函数。离散情况下， I(X;Y)是 的上凸函数，因此必有I(X;Y)的极大值。 在讨论信息速率时： 固定 ,I(X;Y)是 的下凸函数，因此必有I(X;Y)的极小值。 但是若X和Y统计独立，即这样极小值就变成0，此时极小值就没有意义了。 引入一个失真函数R(D)，计算在失真度D一定的情况下，可求得信息率R的极小值。,2019/6/5,7,信息率与失真的关系,信源压缩后相比原始信源，误差或失真越大，说明压缩掉的信息量就越多。 描述失真度大小和信息速率关系的定理称为：保真度准则下的信源编码定理，也叫信息率失真理论。 信息率失真理论的应用： 信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和数据压缩的理论基础。,2019/6/5,8,4.1 主要内容,失真函数 平均失真 信息率失真函数 信息率失真函数的基本性质,2019/6/5,9,失真函数,由于信息率的大小与失真的程度有关，为了定量地描述信息率和失真的关系，必须先规定失真的测度标准，即失真函数： 它用来表示信源压缩后的消息和原始发送的消息之间的误差。 具体地：每一对 ，指定一个非负函数 称为单个符号的失真度（失真函数），它表示信源发出一个符号 ，压缩后在接收端收到 ，二者之间的误差或失真。,distortion,2019/6/5,10,失真函数,失真函数 其它表示收发之间误差的失真函数： 平方误差失真函数或均方失真函数 绝对失真函数 相对失真函数,2019/6/5,11,单符号离散信源的失真函数,设离散无记忆信源为 信源通过矩阵P(Y/X)压缩 压缩后，接收端Y,2019/6/5,12,失真矩阵,要描述离散信源的所有失真情况，必须用矩阵来表示：即失真矩阵，记作D 若一个信源的所有符号压缩前后的失真大小都为，则可写作对角线上为0，其余为。则该单符号离散信源进行压缩传输的失真矩阵可以写作。,2019/6/5,13,失真矩阵,若=1，则失真函数称为汉明失真函数，失真矩阵称为汉明失真矩阵，变为,2019/6/5,14,例：已知单符号离散无记忆信源X=0,1，Y=0,1，2，将其进行压缩的失真函数为 d(0,0)= d(1,1)=0；d(0,1)= d(1,0)=1； d(0,2)= d(1,2)=0.5， 求失真矩阵： 解：,2019/6/5,15,以上离散无记忆信源的N次扩展信源的失真函数：若发送和压缩传输后接收的消息分别为： 则N次扩展信源的失真函数可定义为,2019/6/5,16,连续信源的失真函数,记作：d(x,y) 例：某一连续信源进行压缩传输时，采用的失真压缩的函数为均方式真，则其失真函数可写作： d(x,y)=(y-x)2,2019/6/5,17,平均失真,只能表示两个特定的具体符号 之间的失真，而对于信源整体压缩时，引起的失真测度需要求平均失真。 平均失真：平均失真为失真函数的数学期望。可以表示信源压缩传输时平均每个符号所引起的失真的大小，是从总体上对整个信源压缩失真情况的描述。 平均失真的特性： 它是信源统计特性，信道统计特性和失真度的函数，当以上三个量 给定后，平均失真度就不再是一个随机量了，而变成一个确定的量。 人们所允许的压缩失真都是平均意义上的失真。,2019/6/5,18,平均失真,单符号离散无记忆信源进行压缩传输时的平均失真 N次扩展信源（无记忆）的平均失真,2019/6/5,19,所以，N次扩展信源的平均失真为（注意前提为：无记忆信源） 当 对于定义域内的i,j,k,则,2019/6/5,20,连续信源的平均失真,连续信源的平均失真,因为离散信源的平均失真为：,2019/6/5,21,信息率失真函数,定义：给定信源和失真函数，要使信源压缩后的平均失真 (D为给定的失真上限)， 则需找到某种压缩方法，使其经过压缩后可以达到一个允许的最小信息速率，即R(D)。 不妨将该压缩过程假设成让信源通过一个有失真的传输信道（满足一定的信道转移概率分布或转移概率密度函数），使在该信道（称为试验信道）上传输的信息速率达到最小，这个最小的信息速率称为信息率失真函数，记作R(D)。 信息率失真函数示意图,2019/6/5,22,信息率失真函数,单符号离散无记忆信源的信息率失真函数,其中,2019/6/5,23,信息率失真函数,单符号离散无记忆信源的N次扩展信源的信息率失真函数,2019/6/5,24,信息率失真函数的基本性质,率失真函数的定义域(0,Dmax) 1、当平均失真D=0时，率失真函数R(D)=R(0)=H(X) 证明： (1)对于离散信源 当D=0时，说明信源压缩后无失真，即没有进行任何压缩，因此压缩后的信息速率R(D)等于压缩前的（即信源熵）： R(D)=R(0)=I(X;Y) =H(X)-H(X/Y) =H(X),2019/6/5,25,信息率失真函数的基本性质,率失真函数的定义域(0,Dmax) (2)对于连续信源，所以当D=0时， R(0)=H(X)= 因为绝对熵为无穷大 因此，连续信源要进行无失真地压缩传输，需要传递的信息量是无穷大，这就需要一个具有无穷大信道容量的信道才能完成，而实际信道传输容量有限，所以要实现连续信源的无失真传送是不可能的，必须允许一定的失真，使R(D)变为有限值，传送才有可能。,2019/6/5,26,2、当D=Dmax时，R(Dmax)=0。 分析：失真值D越大，R(D)越小 ，D大到一定程度，R(D)=0，即压缩后的信源没有任何信息量。 现在将所有满足R(D)=0的D的最小值，定义为R(D)定义域的上限Dmax。 Dmax的计算式：,信息率失真函数的基本性质,2019/6/5,27,信息率失真函数的基本性质,二、R(D)是定义域(0,Dmax)上的严格单调递减连续下凸函数,允许的最大失真D,允许的最小信息率R(D),0,Dmax,2019/6/5,28,该式相当于求Dj的最小数学期望 若Ds是所有Dj中最小的一个，则取p(ys)=1，其它p(yj)=0,此时Dj的数学期望必然最小,2019/6/5,29,例4.1.1：P110已知二元信源 解：（1）求Dmax,2019/6/5,30,D1,D2,2019/6/5,31,（1）,.,2019/6/5,32,例4.1.1：P110已知二元信源 解：（2）求Dmin,2