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2019/6/5,近世代数,第四章 整环里的因子分解 2 主理想整环、欧式环,2019/6/5,一、主理想整环,定义1：,引理1：假定R是一个主理想环，若在序列,如果整环R的每一个理想都是一个,称其为主理想环.,主理想，,引理2：假定R是一个主理想环，那么I的,a1,a2,a3,(aiR)里每一个元是前面一个的,真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.,定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环.,一个不可约元P生成一个最大理想.,2019/6/5,二、欧式环,定义2 设,为整环,为,到,的映射. 如果,满足:任给,存在,使得,这里,则称,关于,做成一个欧氏环.,例1,是欧氏环.,证明：,且,是欧氏环.,2019/6/5,例2,设,为域,环,是欧氏环.,设,令,证明:,如果,则存在,使得,.令,2019/6/5,（2）如果,取,使得,为,中次数最小的多项式,则,使得,存在,下证:,(反证) 如果,令,令,2019/6/5,则,.而,与,的选取矛盾.,2019/6/5,例3,Zi 是欧氏环.,证明 令,那么,将,限制到,上,称为,到,的映射.,有,如果,令,对任意的,取,使得,，则,2019/6/5,于是,，令,则,且,而,所以,是欧氏环.,2019/6/5,定理2,欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环.,证明 设,关于,做成一个欧氏环,为,的任一理想.,如果,则,如果,令,则,非空,且,.,设,:,使得,为,中的最小数,下证,2019/6/5,任给,因为,所以存在,使得,于是,如果,则,与,矛盾.所以,于是,由,的任意性可知,又,所以,从而,的选取,则,这就证明了,的任一理想都是主理想,为主理想整环.,2019/6/5,辗转相除法,设,关于,做成一个欧氏环,则有,因为,故最后必有某个,)为零.从而有,(不妨设为,2019/6/5,而且,因此,在欧氏环中,最高公因子可通过,辗转相除法求得,且可通过“回代“法求得,相应的表示式.,2019/6/5,
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