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难点题型拔高练(四)1已知函数f(x)1nln x(m0,0ne)在区间1,e内有唯一零点,则的取值范围为()A.B. C. D 解析:选Af(x),当n0时,f(x)0,当0ne时,令f(x)0,则x0,所以函数f(x)在1,e上单调递减,由函数f(x)在区间1,e内有唯一零点,得即即或即又m0,0ne,所以(1)或(2)所以m,n满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示,则表示点(m,n)与点(1,2)所在直线的斜率,当m,n满足不等式组(1)时,的最大值在点(1,e)处取得,为1,当m,n满足不等式组(2)时,的最小值在A点处取得,根据得所以最小值为,故选A.2已知P为双曲线C:1(a0,b0)右支上的任意一点,经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A,B两点若点A,B分别位于第一、四象限,O为坐标原点,当时,AOB的面积为2b,则双曲线C的实轴长为()A. B.C. D.解析:选A设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由,得(xx1,yy1)(x2x,y2y),则xx1x2,yy1y2,所以1.易知点A在直线yx上,点B在直线yx上,则y1x1,y2x2,所以1,即b22a22a2b2,化简可得a2x1x2.由渐近线的对称性可得sinAOBsin 2AOx,所以AOB的面积为|OA|OB|sinAOBsinAOB x1x2 a2a2ab2b,得a,所以双曲线C的实轴长为.3已知数列an共16项,且a11,a84.记关于x的函数fn(x)x3anx2(a1)x,nN*.若xan1(1n15)是函数fn(x)的极值点,且曲线yf8(x)在点(a16,f8(a16)处的切线的斜率为15,则满足条件的数列an的个数为_解析:fn(x)x22anxa1x(an1)x(an1),令fn(x)0,得xan1或xan1,所以an1an1或an1an1(1n15),所以|an1an|1(1n15),又f8(x)x28x15,所以a8a161515,解得a160或a168,当a160时,a8a1(a2a1)(a3a2)(a8a7)3,得ai1ai(1i7,iN*)的值有2个为1,5个为1;由a16a8(a9a8)(a10a9)(a16a15)4,得ai1ai(8i15,iN*)的值有6个为1,2个为1.所以此时数列an的个数为CC588,同理可得当a168时,数列an的个数为CC588.综上,数列an的个数为2CC1 176.答案: 1 1764已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,离心率为,点B是椭圆上的动点,ABF1面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,线段MN的中垂线为l.若直线l与直线l相交于点P,与直线x2相交于点Q,求的最小值解:(1)由已知得e,即a22c2.a2b2c2,bc.设B点的纵坐标为y0(y00),则SABF1(ac)|y0|(ac)b,即(bb)b1,b1,a.椭圆C的方程为y21.(2)由(1)可知F1(1,0),由题意知直线l的斜率不为0,故设直线l:xmy1,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP),Q(2,yQ)联立,得消去x,得(m22)y22my10,此时8(m21)0,y1y2,y1y2.由弦长公式,得|MN|y1y2| 2.又yP,xPmyP1,|PQ|xP2|,()2,当且仅当,即m1时等号成立,当m1,即直线l的斜率为1时,取得最小值2.5已知函数f(x)xln xax1,aR.(1)当x0时,若关于x的不等式f(x)0恒成立,求a的取值范围;(2)当nN*时,证明:(ln 2)222.解:(1)由f(x)0,得xln xax10(x0),即aln x恒成立,即amin.令F(x)ln x(x0),则F(x),函数F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,函数F(x)ln x的最小值为F(1)1,a1,即a1,a的取值范围是1,)(2)证明:为数列的前n项和,为数列的前n项和,只需证明2即可由(1)知,当a1时,xln xx10,即ln x1,令x1,得ln 1,22.现证明2,即2ln .(*)现证明2ln xx(x1),构造函数G(x)x2
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