概率论与数理统计经管类第四章课后习题答案档.doc

习题4.11. 设随机变量X的概率密度为(1)f(x)=2x, 0x1,0, 其他; (2) f(x)=12e-x, -x+求E(X)解: (1)EX=-+xfxdx= 01x2xdx=2x3210=23(2) EX=-+xfxdx=-+x12e-x=02. 设连续型随机变量X的分布函数为arcsinx的导数为11-x2arctanx的导数为11+x2Fx=0, x-1,a+barcsinx, -1x1,1, x1.试确定常数a,b,并求E(X).解:(1) fx=Fx=b1-x2, -1x10, 其他-+fxdx=-11b1-x2dx=barcsinx1-1=b=1, 即b=1又因当-1x0,0, x0.求E(X).解: EX=-+xfxdx=120+xe-x222dx=14. 设X1, X2,. Xn独立同分布,均值为,且设Y=1ni=1nXi,求E(Y).解: EY=E1ni=1nXi=1nEi=1nXi=1nn=5. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e-y, 0x1,y0,0, 其他.求E(X+Y).解:EX+Y=-+-+x+yfx,ydxdy=0+01x+ye-ydxdy=0+12e-y+ye-ydy=326. 设随机变量X1, X2相互独立,且X1, X2的概率密度分别为该题服从指数分布,故E(X)= 1f1x=2e-2x, x0,0, x0, f2x=3e-3x, x0,0, x0,求: 1E2X1+3X2; 2E2X1-3X22; 3EX1X2 .解:(1) E2X1+3X2=2EX1+3EX2=2*12+3*13=2(2) E2X1-3X22=2EX1-3EX22=1-3*0+x23e-3xdx=1-3*-0+x2d(e-3x)=1-3*-x2e-3x+0+0+e-3xdx2=1-3*0+0+e-3x2xdx=1-3*230+e-3x3xdx=1-3*23*13=13(3) EX1X2=EX1EX2=12*13=167. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为YX01210.10.20.120.30.10.2求E(X).解:EX=ijxipij=0*0.1+0*0.3+1*0.2+1*0.1+2*0.1+2*0.2=0.98. 设随机变量X的概率密度为f(x)=cx, 0x1,0, 其他.且E(X)=0.75,求常数c和.解: EX=-+xfxdx=01xcxdx=0.75习题4.21. 设离散型随机变量X的分布律为X-100.512P0.10.50.10.10.2求EX,EX2,DX.解: EX=-1*0.1+0*0.5+0.5*0.1+1*0.1+2*0.2=0.45EX2=-12*0.1+0*0.5+(0.5)2*0.1+12*0.1+22*0.2=1.025DX=-1-0.452*0.1+0-0.452*0.5+0.5-0.452*0.1+1-0.452*0.1+2-0.452*0.2=0.82252. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X的期望和方差.解: X的可能取值为0,1,2注意此处不可以用二项分布式:PX=k=Cnkpkqn-kPX=0=C22C52=0.1PX=1=C31C21C52=0.6PX=2=C32C52=0.3EX=0*0.1+1*0.6+2*0.3=1.2DX=(0-1.2)2*0.1+(1-1.2)2*0.6+(2-1.2)2*0.3=0.144+0.024+0.192=0.363. 设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度分别为fXx=2e-2x, x0,0, x0, fYy=4, 0y14,0, 其他,求D(X+Y).解: DX+Y=DX+DY=122+(14-0)212=491924. 设随机变量X的概率密度为-+x2e-xdx此为奇函数,故=0-+x22e-x正负无穷带入结果都一样,故=2-+x22e-xfXx=12e-x, -x+,求D(X)解: EX=-+x2e-xdx=0EX2=-+x22e-xdx=2-+x22e-x=-+x2e-x=2DX= EX2-EX2=25. 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,求D(X-Y).解: DX-Y=DX+DY=1+2=36. 若连续型随机变量X的概率密度为fx=ax2+bx+c, 0x0,y0, 0, 其他 求X与Y的相关系数xy.解: EX=0+(0+xye-(x+y)dy)dx=1EY=0+(0+y2e-x+ydx)dy=0+(0+y2e-xe-ydx)dy=0+y2e-ydy=-0+y2de-y运用分部积分法.0+e-yydy服从=1的指数分布=-y2e-y+0+0+e-ydy2=0+0+e-y2ydy=20+e-yydy=2EXY=0+(0+xy2e-(x+y)dy)dx=2CovX,Y=EXY-EXEY=2-2*1=0所以xy=CovX,YD(X)D(Y)=04. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y).解: fx,y=12121-2e-12(1-2)x-1212-2x-1y-212+y-2222EX=0,EY=01=0, 2=0,D(X)=16, D(Y)=251=4,2=5Cov(X,Y)=12=CovX,YD(X)D(Y)=124*5=35fx,y=132e-2532(x216-3xy50+y225)5. 证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:DX-Y=EX-Y-EX-Y2=EX-EX-Y-EY2=EX-EX2-2EX-EXEY-EY+EY-EY2=DX+DY-2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为C=(4-3-39),求X与Y的相关系数xy.解: C=(4-3-39)CovX,Y=-3, DX=4,DY=9 xy=CovX,YD(X)D(Y)=-32*3=-12自测题4一、 选择题1.2.3.4.5.1. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25解: 指数分布的EX=1, DX=122. 设随机变量X,Y相互独立,且XB(16,0.5),Y服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y+1)= C .A.-14 B. 13 C. 40 D. 41解: DX=npq=16*0.5*0.5=4, DY=9DX-2Y+1=DX+4DY+D1=4+4*9+0=403. 已知D(X)=25,D(Y)=1, xy=0.4, 则D(X-Y)= B .A.6 B. 22 C. 30 D. 464. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独立 B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XY)= E(X)E(Y) D. (X,Y)N(1,2,12,22,0)解: X与Y不相关xy=0, CovX,Y=0E(XY)= E(X)E(Y)5. 设二维随机变量(X,Y)N(1,1,4,9,12),则Cov(X,Y)= B .A. 12 B. 3 C. 18 D. 36解: xy=12=CovX,YD(X)D(Y)=CovX,Y2*3, CovX,Y=36. 已知随机变量X与Y相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则E(XY)= A .A. 3 B. 6 C. 10 D. 12解: XU-1,3,YU2,4EX=a+b2=-1+32=1, EY=2+42=3EXY= EXEY=1*3=37. 设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X与Y都服从N(0,1)正态分布 B. X与Y相互独立C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是(x)(y)二、 填空题1. 若二维随机变量(X,Y)N(1,2,12,22,0),且X与Y相互独立,则= 0 .解: Cov(X,Y)=02. 设随机变量X的分布律为 3 .X-1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)= 3 .解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33. 已知随机变量X服从泊松分布,且D(X)=1,则PX=1= e-1 .解: DX=1PX=1=1e-1!=e-14. 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)= D(Y)=1,则D(X-Y) = 2 .5. 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布, EX2= 6 .解: EX=2,DX=2, EX2=E2X+DX=4+2=66. 设X为随机变量,且E(X)=2, D(X)=4,则EX2= 8 .7. 已知随机变量X的分布函数为Fx=0, x0x4, 0x41, x4则E(X) = 2 .解: f(x)=Fx=14, 0x40, 其他EX=04x4dx=08. 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=2, D(Y)=1,则D(X-2Y+3)= 6 .三、 设随机变量X的概率密度函数为fx=32x2, -1x1, 0, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2)PX-EX2D(X).解: (1) EX=-1132x3dx=0DX=EX2-E2X=-1132x4=32x551-1=35(2) PX-EX2DX=PX65=-6565fxdx=-1132x2dx=1四、 设随机变量X的概率密度为fx=x 0x12-x, 1x0, 0, x0.(1) 求E(X),D(X);(2) 令Y=X-E(X)D(X),求Y的概率密度fY(y).解:(1) EX=0+2xe-2xdx=12DX=EX2-E2X=0+2x2e-2xdx-14=12-14=14(2) Y=X-E(X)D(X)=X-1212=2X-1由Y=2X-1得X=Y+12, X=12fYy=2e-2(Y+12)12, Y+1200, Y+120 =e-(y+1), y-10, y-1七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y=2, 0x1,0yx, 0, 其他求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3) PX+Y1.解:(1) EX+Y=01dx0x2x+ydy=012x2+x2dx=1(2) EXY=01dx0x2xydy=01x3dx=14(3) PX+Y1=x+y1fx,ydxdy=012(y1-y2dx)dy=0122-4ydy=12八、 设随机变量X的分布律为X-101P131313记Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); (2) xy.