电磁场理论补充习题及解答.doc

电磁场理论复习题（通信051-5）一、 填空与简答1、 既有大小、又有方向的量叫矢量。只有大小、而没有方向的量叫标量。2、 在直角坐标系中，一个矢性函数和三个有序的数性函数（坐标）构成一一对应的关系。3、 若为矢量函数，为标量函数，如果，4、表示哈密顿算子（W.R. Hamilton），即。数量场梯度和矢量场的散度和旋度可表示为，。4、 奥氏公式及斯托克斯公式可为， 。5、 亥姆霍兹（H.Von Helmholtz）定理指出：用散度和旋度能唯一地确定一个矢量场。6、 高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：7、 电偶极子（electric dipole）是指相距很近的两个等值异号的电荷，它是一个矢量，方向是由正电荷指向负电荷。8、 根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。等效体电荷密度和面电荷密度分别为， 。9、 在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即，电场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即。10、 凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间的。场中任一点的能量密度为。11、 欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即。导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即。12、 在恒定电场中，电流密度J在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即，。13、 磁感应强度通过任意曲面的通量恒为零，这一性质叫磁通连续性原理，它表明，磁感应强度是一个无源的场。14、 在恒定磁场中，磁感应强度的法向分量在分界面两侧连续，而其磁场强度的切向分量一般在分界面两侧不连续，即：，。15、 静电场的唯一性定理表明：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程必定唯一。16、 采用镜像法解决静电场问题时应注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷；（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域；（3）导体是等位面。17、 电磁感应现象说明，穿过一条回路的磁通发生变化时，在这个回路中将有感应电动势的出现，并在回路中产生电流。18、 麦克斯韦方程组的物理意义为：（1）时变磁场将产生电场（2）电流和时变电场都会产生磁场，即变化的电场和传导电流是磁场的源（3）电场是有通量的源，穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量（4）磁场无“通量源”，即磁场不可能由磁荷产生，穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。19、 高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内，这种现象称为集肤效应。20、 电磁波的相速度随频率的变化而变化的现象称为色散。当群速度小于相速度的这类色散称为正常色散，反之为非正常色散。21、 电场强度的方向随时间变化的方式称为电磁波的极化。电磁波的极化可分为三种，线极化、圆极化和椭圆极化。22、 圆极化波具有两个与应用有关的重要性质：（1）当圆极化如射到对称目标上时，反射波变为反旋向的波，即左旋波变为右旋波，右旋波变为左旋波（2）天线若辐射左旋极化波，则只能接收左旋极化波，反之，天线若辐射右旋极化波，则只能接收右旋极化波。这种现象称为圆极化天线的旋向正交性。23、 根据导行波中有无纵向分量，导行波可分为：（1）横电磁波即TEM波（2）横电波即TE波或磁波H波（3）横磁波即TM或电波E波。24、 天线一般具有下列功能：（1）能量转化（2）定向辐射或接收（3）具有适当的极化（4）天线应与波导装置匹配。25、 电基本振子是一段载有高频电流的短导线，其长度远小于工作波长，导线上各点的高频电流大小相等，相位相同。26、 描述天线性能的电参数主要有：方向图，主瓣宽度，旁瓣电平，方向系数，极化特性，天线效率，频带宽度，输入阻抗。二、 证明与计算1、设u是空间x,y,z的函数，证明： （1），（2），（3）证明：（1） （2）=（3）=2、（1）应用高斯定理证明： （2）应用斯托克斯定理证明：证明：（1）设d为任意的常矢量，有，由矢量公式，所以有：，根据高斯定理有所以故得证。（2）设d为任意的常矢量，有由矢量公式 =所以根据斯托克斯定理有 所以，于是有证毕。3、证明格林（Green）第一公式及格林第二公式，其中证明：应用奥氏公式，取有格林第一公式得证。同理有，将该式与格林第一公式相减可得格林第二公式。4、证明：（1）；（2）；（3）。其中，A为一常矢量。证：设，其中为常数，有5、计算半径为a，电荷线密度为的均匀带电圆环在轴线上的电场强度。yxzRrar解：取圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合, 6、设有一个半径为a的球，其中充满体电荷密度为C/m3的电荷，球内外的介电常数均为，求：（1）球内、外的电场强度；（2）验证静电场的两个基本方程；（3）球内、外的电位分布。解：（1）因为电荷分布为均匀的球体，所以具有球对称性，即在与带电球同心，半径为r的高斯面上，E是常数。当ra时，有，即V/m。（2）采用球坐标散度、旋度公式。因为球内、外电场强度只是r的坐标，所以，当ra时有（3）选无限远处为参考电，当ra时有V7、导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。若导体球的半径为a，球壳的内半径为b，壳的厚度可以忽略不计，求电位系数、电容系数和部分电容。解：设导体球带电量为q1，球壳带总电荷为零，无限远处的电位为零，由对称性可得b1a02，因此有 ，设导体球的总电荷为零，球壳带电荷为q2，可得，因此电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵，所以有，部分电容为，8、一同轴线的内、外导体半径分别为a和b，内外导体之间填充两种绝缘材料，在arr0处填充材料的介电常数为1，在r0ra时，其包围的电流为I，当时有，即，当时有，11、同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外导体的内半径为c，设内、外导体分别流过的反向电流为I，两导体间的介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。abc解：对于良导体一般取其磁导率为0，因为同轴导体无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场仅有方向的分量其大小为r的函数。应用安培环路定理当ra时，在该区域磁导率为0故 ，并由于该区域为理想导体，故M=0当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区域的磁导率为故，当brc时，外导体电流均匀分布，则与积分回路交链的电流为I,并由于该区域为理想导体，故M=012、同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外导体的内半径为c，设内、外导体两导体间的介质的磁导率为，计算同轴线单位长度的总自感。解：总自感由三部分构成，即外导体的互感Li1（由内导体的磁场所交链产生的），内导体的内自感L0和内导体自感三部分构成Li2。（1）先计算Li1，（2）计算内导体自感，（3）计算外导体内自感应用安培环路定理有：，H/m。13、一点电荷，其带电量为q，将其放置在如图所示的介质空间内，用镜像法求图中所示点的电位(2点的位置与1对称)，并画出他们的镜电荷。12h题 13q1h22bq1qq”2AB解：设点电荷的坐标为(0,h)，1点的坐标为（b,h2）2点的坐标为（b,-h2），于是相对于1，q在2中的镜像为q其坐标为（b,-h2），相对于2，q在1中的镜像为q其坐标为（b,h2）。电位，在两种介质的界面上，两电位满足边界条件，即：，在边界条件上，任一点相等，使其等于r。应用边界条件得到，化简并连立两方程，得到，14、如图所示，有一点电荷q位于两个相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间中，它到两平面的距离分别为a和b，求空间的电位。xyP1(a,b)P2(a,-b)P3(-a,b)P4(-a,-b)P(x,y,z)解：该电荷产生三个镜像电荷，其大小和坐标分别为-q(a,-b),-q(-a,b)及q(-a,-b)所以P(x,y,z)点的电位为15、设区域1（z0）的媒质参数为；区域1中的电场强度为V/m区域2中的电场强度为：V/m求（1）常数A；（2）说明磁场强度的边界条件，并计算H1和H2；（3）证明在z=0处H1和H2满足边界条件；解：（1）在无损耗媒质的分界面z=0处，有，由于E1和E2正好为切向电场，在切向方向电场连续，故A=80V/m。（2）根据麦克斯韦方程：，得到，因此，因此A/m同理：A/m（3）对于第二问，取z=0，有H1=H2，这说明在分界面上磁场强度连续，满足边界条件。16、已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量为V/m，式中k及E0为常数，求：（1）磁场强度的复矢量；（2）坡印廷矢量的瞬时值；（2）平均坡印廷矢量。解：（1）由得：（2）电场、磁场强度的瞬时值为：，故，坡印廷矢量的瞬时值为：（3）平均坡印廷矢量为： 17、已知无界理想媒质（=0，=0，=0）中，正弦均匀平面电磁波的频率f=108Hz，电场强度为：V/m求：（1）均匀平面电磁波的相速度vp，波长，相移常数k和波阻抗；（2）电场强度和磁场强度的瞬时表达式；（3）与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。解：（1）m/s， m rad/m，（2）A/m电场强度和磁场强度的瞬时值为V/mA/m（3）复坡印廷矢量为=W/m2坡印廷矢量的时间平均值为 W/m2与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为 W/m218、已知海水的r=1，=1S.m-1，试计算频率为50Hz，106Hz，109Hz的三种电磁波在海水中的透射深度。解：可近似地认为海水为良导体，故而，其趋肤深度为当频率为50Hz时，有m；当频率为106Hz时，有m；当频率为109Hz时，有m；19、有两个频率和振幅都相等的单频率的平面波沿z轴传播，一个波沿x轴方向偏振，另一个沿y轴方向偏振，但相位比前者超前/2，求合成波的偏振，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线极化？解：根据题义，已知的两个单频平面波可表示为：，=合成波为：，为右旋圆极化波。事实上合成波可分为：，从而有上式说明，一个圆极化波是由两个极化方向垂直，一个的相位超前于另一个相位/2的平面波合成。反之，一个圆极化波可分解为上述的两个平面波。20、频率为30109Hz的微波，在0.7cm0.4cm的矩形波导管中能以什么波模式传播？在0.7cm0.6cm的矩形波导管中能以什么波模式传播？解：在矩形波导管内，（m,n）波模式的截止角频率为设波导管内为真空，有对于0.7cm0.4cm的矩形波导。其频率为：，显然，所以在该管中只能传播一种模式的波对于0.7cm0.6cm的矩形波导。其频率为：，显然，所以在0.7cm0.6cm的矩形波导中可传播。21、对于2cm2cm的波导管中频率为15GHz的TE10波，（1）求其波矢量k；（2）写出电磁场各分量表示式；（3）求其波长；（4）求其相速度和群速度。解：（1）波导管的a=210-2m，则电磁波的模式为（m，n）=(1,0)，因此k的各个分量为：， （2）， ，（3）电磁波的波长为：。作为比较，该电磁波在自由真空中的波长为 （4）相速度为： 群速度：，显然，但恒有22、已知电基本振子的辐射功率为，写出远区任意一点的电磁场表达式。若=0.2，计算辐射电阻。解：，得，23、若电基本振子沿z轴放置，其辐射功率为，在最大辐射方向处的功率密度为，场强为，若理想天线在该处的功率密度为，场强为，求其方向系数。解：根据坡印廷矢量，有，则方向系数为 =三、 综合计算1、 半径为a的金属球均匀带有电荷q，被半径为b（电介质常数为1）和c（电介质常数为2）的两个同心均匀介质层包围（cb）。（1）求金属球内和两种介质中及介质外的电场强度；（2）验证各分界面上E和D满足的电场边界条件；（3）各分界面上的束缚电荷体密度；（4）两介质中束缚电荷体密度；（5）总束缚电荷体密度。解：（1）由高斯定理 得：当时，由于电荷只能存在于金属球的表面，所以，当时，同理可得，当时，当时，（2）选法向矢量为r，当r=a时，因，所以，又因为，因此满足边界条件。当r=b时，因为 ，所以，因此满足边界条件。同理，当r=c时也满足边界条件。（3）由公式，及，求当r=a时，因为，所以，显然与的符号相反。r=b时，因为,所以 r=b时，因为，所以（4）由公式，求当时，当时，（5）总束缚电荷为2、一无限长圆柱体，半