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,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第九节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,函数,在点,连续只跟自变量,在,的某个,邻域,的变化有关,它反映函数的一个局部性质.,为了更形象地描述,只在,变化,引进新变量:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左右连续:,若,则称,若,则称,显然，我们有：,函数,在点,连续的充要条件是它在,处，有,在点,右连续,在点,左连续,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同理可证函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题: 证明函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,1.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,P69 题 8 提示：,用夹逼准则。,作业 P69 3(2)(4); 6 ; 7；9,3. P68-69 题 2
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