§2.2离散型随机变量及其分布列.ppt

2.2离散型随机变量及其分布列,一、一维离散型随机变量及分布列,二、多维离散型随机变量及其联合分布列,一、一维离散型随机变量及分布列 1概念 定义2.2.1 定义在样本空间上，取值于实数域R， 且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值） 离散型随机变量，简称离散型随机变量. 讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面问题: 一是随机变量的所有可能取值；二是搞清楚随机变量取这些可能值的概率（这是最主要的）。,例2.2.1 设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任两球，则取到的黑球数为随机变量 的可能取值为0，1，2,则,习惯上，把它们写成,称它为随机变量的分布列(律).,2分布列(律),如果离散型随机变量,可能取值为,),(,相应的取值,的概率,为随机变量,的分布列，也称为分,布律，简称分布.,也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律：,称,或,例2.2.2 在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率,为p，令,=“5次试验中事件A出现的次,解:,k=0,1,2,3,4,5.,于是,数”,求,的分布列.,的分布列,3分布列的性质,由概率的性质可知，任一离散型随机变量,的分布列,都具有下述性质：,非负性：1）,规范性：2）,反过来，任意一个具有以上性质的数列,都可以看成,量的分布列.,某一个离散型随机变,分布列不仅明确地给出了（,）的概率，而且对于,任意的实数,，事,件（,）发生的概率均可由,分布列算出，因为（,）=,于是由概率的可列可加性,其中,由此可知，离散型随机变量取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面的描述离散型随机变量。,例2.2.3 设随机变量,的分布列为,，求 c的值。,解：,的分布列为,由分布列的性质,即C,所以,注意: 求分布列中的待定常数，往往用分布列的性质(规范性)或利用分布列自身的概率性质.,例2.2.4 一个口袋中有,只球，其中,放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为 止，设此时取出了,个白球，求,的分布列.,只白球，无,解：,的可能取值为0,1,2,m,注意（,=i）表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球.,例2.2.5 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为,(0 1),设,为一直掷到正、反,的分布列.,都出现时所需要,的次数，求,解：,的所有可能取值为2，3,.,则,+, k=2，3,.,注意，求离散型随机变量的概率分布的一般步骤: （1）确定随机变量的所有可能取值； （2）确定每个可能取值的对应的概率； （3）验证 是否成立 实质上求离散型随机变量的概率分布就是转化为求随机事件的概率.,4几种常用分布,（1）退化分布,设,的分布列为P( )=1 (a为常数)，,则称 服从退化布.,（2）两点分布,设,的分布列为,称 服从两点分布或01分布或贝努里分布.,（3）二项分布,设随机变量 的分布列为,显然，（1）,（2）,称随机变量 服从二项分布,记为 b(k；n，p).,大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形.,（4）几何分布,在贝努里试验中，每次试验成功的概率为 p， 失败的概率为q=1-p,设试验进行到第 次才出现成功. 的分布列为,其中，,是几何级数,的一般项。,因此称它为几何分布,记为 g(k;p).,（5）泊松（Poisson）分布,观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。可用相应的变量 表示，实践表明 的统计规律近似地为,其中 是个常数，易验证：,（1）,（2）,也就是说，若 的分布列为,称,服从参数为,的泊松（Poisson）分布，记为,在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述. 从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位.,下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系:,定理2.2.1（Poisson定理）,在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为 （与试验总数n有关）.若当 时 （ 0常数）,则有,证明略。,这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布列中，要计算b(k;n,p)= ，当n和k 都比较大时，计算量比较大。,若此时np 不太大（即p较小），那么由Poisson定理就有,而要计算 有Poisson分布表可查.,b(k;n;p),其中,例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共 有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的 概率为多大？ 解：设该单位患这种疾病的人数为 ,则 其中b(k;5000,1/1000)= 这时如果直接计算 ，计算量较大。由于n很大，p较小，而np=5不很大 ，,可以利用 Poisson定理,查Poisson分布表得：,于是，,例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少 应进某种商品多少件？,解：设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货为a件.则当（ ）时,就不会脱销。因而按题意要求为,查Poisson分布表得,又 ，所以,于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销.,5离散型随机变量的分布函数 设 为一个离散型随机变量，它的分布列为 则 的分布函数为,对离散型随机变量，用得较多的还是分布列.,例2.2.8 若 服从退化分布即 ，则 的分布函数为,例2.2.9 若,服从两点分布,求,的分布函数,.,解： 当 当 时， 当 时，,的分布列为,例2.2.10 设,求,的分布函数,.,解： 当 时， 当 时，,；,当,时，,当,于是,注意 从上面例子可以看到，在已知分布列的情况下,可 利用公式 求分布函数,要对自变量的 取值进行讨论。 是一阶梯状的左连续函数，在 处有跳跃，其跃度为 在 处的概率.同样,利用分布函数与概率的关系,也可以在已知分布函数的情况下得到分布列.,例2.2.11 设随机变量 的分布函数为,求 的分布列。,解: 依题意可得 的可能取值为-1，1，3,所以 的分布列为,二、多维离散型随机变量及其联合分布列,1.概念 定义2.2.2 设 是样本空间 上的n 个离散型随机变量，则称n维向量 是 上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量。 对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分 量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不 仅要研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑 它们之间的联系. 下面主要讨论二维离散型随机变量.,定义2.2.3 设（,）是二维离散型随机变量，它们,称 = ， 为二维随机,变量（ ）的联合分布列。,的一切可能取值为（ ）， ，,注意： =,与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示：,2联合分布的性质,容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：,1）非负性： ， ，,2）规范性：,3边际分布（边缘分布）,定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它,们的每一个分量,的分布称为关于（ ）的边际分,布，记为 与,若（ )的联合分布列为 ，,事实上，因为,则,所以,同理可得，,由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。,大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列 的右方加了一列，它将每一行中的 相加而得出 ，这就是 的边际分布列；相应的在 下面增加一行，它把每一列中的 对i相加而得到 ，恰好就是 的边际分布列，这也是年纪分布列名称的来历，即：,例2.2.12 设把三个相同的球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为 ，,落入第2号盒子中球的个数为 ，求（ ）的联合,分布列及 的边际分布列。,解：,的可能取值为,（首先确定（ ）,的所有可能取值（ i,j）,然后利用第一章的知识计算概率,.,当i+j3时，,=,；,所以（ ）的联合分布列及边际分布列如下表:,表1,例2.2.13 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒子中的白球个数为 ，落入第2号盒子中的红球的个数为 ,求（ ）的联合分布列和边际分布列。,解：,的可能取值为（ ）,如表2所示.,比较上面两个例子可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。,表2,三、离散型随机变量的独立性,由离散型随机变量的分布函数及多维离散型随机变量的联合分布函数的定义。离散型随机变量的独立性也可以采用如下定义：,定义2.2.5 设随机变量 的可能取值为,的可能取值为,，如果对任意的 有：,成立 ，则称随机变量 与 相互独立。,两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响.,定理2.2.1 设 是二维离散型随机变量联合分布律为 的边际分布为,则 相互独立的充要条件是对任意,由上述定理可知，要判断两个随机变量 的独立性，只需求出它的各自的边际分布，再看是对 的,每一对可能取值点，边际分布列的乘积都等于联合分 布列即可.若其中有一对值不满足这个条件，则,与 不独立。,例2.2.14 袋中装有2个白球和3个黑球，现进行有放回（无放回）摸球，每次从中任取一只，取两次，令：,求( ) 的联合分布列与边际分布列，并判定,的独立性,解: 无放回,则 的联合分布列为如表3所示：,表3,有放回：,的联合分布列为：,表4,当采取无放回取球时，因为 ，而,，所以，,故 不相互独立。,当采取有放回取球时，因为对 所有可能取值,都有,故 相互独立。,随机变量的独立性可以推广到多