《D212高阶导数》PPT课件.ppt

,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导 数,第二章,1.4 高阶导数,1.3 参数式函数与隐函数的导数,二、高阶导数的运算法则,1.4,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,高阶导数,统称为高阶导数.,称为一阶导数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,例2. 设,求,解:,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,解:,规定 0 ! = 1,思考:,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几个常用的高阶求导公式 1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几个常用的高阶求导公式 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,推导 目录 上页 下页 返回 结束,其中,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,解:,求下列函数的 n 阶导数.,(3),解:,不能直接用除法相比,X3-1+1,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 设,求,解:,即,用莱布尼兹公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题 1.,cos(kx)(n)=k(n)coskx+n2,2. 反函数的高阶导数,导出,解：,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,试从,解:,设,求,其中 f 二阶可导.,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3,二、隐函数的导数,一、由参数方程确定的函数的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,参数式函数与隐函数的导数,一、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,设,关系,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示Y的二阶导数,?,例1. 设,求,已知,解:,注意 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,dy,dydt=d(12t)dt=(12t) df(x)dx=f(x),X,例2. 设, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对y取过导的都要乘上y?,例4. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,解得,，两边再对 x 求导，有,上式中代入,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并化简，有,例6. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,另解:,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例8,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求,解：,例10. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P82 37, 39, 41, 51, 58, 66, 71, 73 74, 77, 79, 87. (3) , 91. P84 93.(1), 95, 96, 108, 111, 117 125, 129, 133, 138,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对