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文档简介

2.7 Gramer法则,行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用，对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组，相应的结论也成立，这就是下面要介绍的Gramer法则。,设n元一次线性方程组为,（1）,称,为这个方程组的系数行列式。,把D中的第j列换成常数列,后所得行列式记为,则,定理2.7.1 （Gramer法则）：,如果线性方程组（1）的系数行列式,有唯一解，其解为：,，则这个方程组,（2）,其中,是把D中的第j列元素换成常数项,所得的,行列式，,该定理包括三个结论：,方程组在,时有解；,解是唯一的；,解由公式（2）给出。,这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是：,1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1）的解；,2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2）给出。,证：把方程组简写成,首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把,代入第i个方程得：,因此,确是方程组（1）的解。,再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设,是方程组（1）的任一解，,则有,（3）,用D中第j列元素,的代数余子式,依次乘以（3）中每个方程得,把这n个方程相加得：,而,例2.7.1 解线性方程组,解：由于方程组的系数行列式,故,方程组有唯一解。,由于,方程组的解是,注意：,克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知量个数不相等或虽相等，但系数行列式等于零，克莱姆法则失效。,如果在线性方程组（1）中常数项全为零，即有,（4）,称方程组（4）为齐次线性方程组，这种方程组显然有解：,称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的,解，则称为非零解。我们关心方程组（4）什么时候有非零解。,定理2.7.2：,若齐次线性方程组（4）的系数行列式,，,则方程组（4）只有零解。,证：由Gramer法则，方程组（4）只有唯一解：,但由于,推论：,齐次线性方程组（4）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。,例
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