世纪金榜理科数学(广东版)热点专题突破系列(六).pptVIP

热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题,考点1 古典概型与统计相结合的问题 【典例1】某学校对学生的考试成绩作抽样调查,得到成绩的频率分布直方图如图所示,其中70,80)对应的数值被污损,记为x. (1)求x的值.,(2)记90,100为A组,80,90)为B组,70,80)为C组,用分层抽样的方法从90,100,80,90),70,80)三个分数段的学生中抽出6人参加比赛,从中任选3人为正选队员,求正选队员中有A组学生的概率.,【解题视点】(1)直接由频率和等于1列式计算x的值. (2)利用分层抽样每层抽取的比例相等求出抽取的6人中三个分数段中所抽取的人数,然后利用列举法写出从6人中任抽3人的所有的抽法,查出3人中一定含有A组学生的抽法种数,最后利用古典概型概率计算公式求解.,【规范解答】(1)因为(0.013+0.022+x)10=1, 所以x=0.03. (2)设从90,100分数段的学生中抽出m人,依题意: m+2m+3m=6,所以m=1.所以从80,90)中抽出的学生人数为2人,从70,80)中抽出的学生人数为3人. 记从90,100中抽出的学生为a,从80,90)中抽出的学生为b,c,从70,80)中抽出的学生为d,e,f,从6人中抽出3人共有:abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf, ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef,cde,cdf,cef, def,共20种,含有a的共有:abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf, ade,adf,aef,共10种, 所以正选队员中有A组学生的概率,【规律方法】古典概型和统计相结合 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决.,【变式训练】(2013茂名模拟)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100,得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在90分以上(含90分)的学生为“优秀”,成绩小于90分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.,(1)求“优秀”和“良好”学生的人数. (2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出10人,求“优秀”和“良好”的学生分别选出几人? (3)若甲是在(2)中选出的“优秀”学生中的一个,则从选出的“优秀”学生中选2人参加某专项测试,求甲被选中的概率是多少?,【解析】(1)依题意“良好”学生的人数为40(0.01+ 0.07+0.06)5=28(人), “优秀”学生的人数为40(0.04+0.02)5=12(人). (2)“优秀”与“良好”的人数比为37,所以采用分层抽样的方法抽取的10人中有“优秀”学生3人,“良好”学生7人.,(3)将(2)中选出的“优秀”的三名学生记为甲,乙,丙,则从这3人中任选2人的所有基本事件包括:甲乙,甲丙,乙丙共3个基本事件,其中含甲的基本事件为甲乙,甲丙2个, 所以甲被选中的概率是,考点2 样本的数字特征与概率相结合的问题 【典例2】在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:,(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s. (2)从前5位同学中,随机地选出2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.,【解题视点】(1)由这6位同学的平均成绩为75分,建立关于x6的方程,可求得x6,然后求方差,再求标准差. (2)用列举法可得所求古典概型的概率.,【规范解答】(1)因为这6位同学的平均成绩为75分, 所以 (70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90, 这6位同学成绩的方差 s2= (70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+ (90-75)2=49,所以标准差s=7.,(2)从前5位同学中,随机地选出2位同学的成绩有:(70,76), (70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72), (72,70),(72,72),(70,72),共10种, 恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76), (76,72),(76,70),(76,72),共4种,所求的概率 为 =0.4, 即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.,【规律方法】数字特征的意义 (1)众数体现了样本数据的最大集中点,但无法客观地反映总体特征. (2)中位数是样本数据所占频率的等分线. (3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据越分散,标准差、方差越小,数据越集中.,【变式训练】一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. (1)求z的值.,(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率. (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.,【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆, 由题意得 所以n=2000, 则z=2000-100-300-150-450-600=400.,(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车, 由题意得 则a=2. 因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿 车.用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车, 用E表示事件“从该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿 车”,则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3), (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个.,事件E包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 7个.故P(E)= 即所求概率为 (3)样本平均数 (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 设D表示事件“从该样本中任取一个数,该数与样本平均数之差 的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件 D包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以 P(D)= 即所求概率为,考点3 离散型随机变量的分布列、期望和方差与统计相结合 的问题 【典例3】某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案: 考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取 的3道题.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能 力考查.已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题,另2道 题不能完成;考生乙正确完成每道题的概率都为 且每道题 正确完成与否互不影响.,(1)求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率. (2)记所抽取的3道题中,考生甲能正确完成的题数为,写出的分布列,并求E()及D(). (3)试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平.,【解题视点】(1)甲生要通过实验考查,就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道,由此能求出考生甲通过实验考查的概率. (2)甲正确完成实验操作的题数为,则服从超几何分布,利用古典概型公式求出概率,得出分布列,并求E()及D(). (3)先求出乙正确完成的题数的分布列,计算期望与方差,再与甲进行比较.,【规范解答】(1)因为考生甲要通过实验考查,就必须正确完成所抽3道题中的2道或3道. 所以所求概率为,所以考生甲正确完成实验操作的题数的分布列为:,(3)乙考生正确完成题数的分布列为:,所以E()=E(),表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同. 因为D()= 所以D()D(),这表明的取值比的取值相对集中于均值2的周围,因此甲生的实际操作能力比乙生强.,【规律方法】利用均值和方差的意义分析问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.依据方差的意义得出结论.,【变式训练】(2013北京模拟)空气质量指数PM2.5(单位:mg/m3)表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物质的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:,甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得的PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图:,(1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?(不需要说明理由) (2)在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率. (3)在乙城市15个监测数据中任取2个,