师院国培：2数学学科特点与学童认知特点的关系及其应用.ppt

数学学科特点与学童认知特点的关系及其应用,李东宁 随江淮才俊 参于龙山,目录,教材教法变化的周期短，基层适应磨合的周期长。 怎么办？,数学学科特点与学童认知特点的关系分析,提纲挈领，分析、判断、解决教学中纷繁多变的问题,一、问题,单击添加标题文字内容,小学数学教学 有没有相对稳定的规律？,二、要素：,数学学科特点与学童认知特点 的关系,数学与学童,接受学习 与探究学习,继承与创新,提高教学质量与 减轻过重学习负担,知识技能 与三维目标,预设与生成,共同要求 与因材施教,教师作用 与学生地位,双击添加标题文字,1、数学与学童的关系是小学生数学学习的基本关系,认知主、客体的特征之间的关系,2、抓认知主、客体的特点，把握二者错综复杂的关系,数学学科特点,儿童认知特点,3、数学学科特点与儿童认知特点的对立统一关系,具体抽象；,儿童,个别一般；,已知未知,数学,三、应用：,固本清源，提纲挈领， 分析、判断、改善 纷繁多变的教学状况,意象（图景，表象）：从具体到抽象的中介 连贯全过程的动态意象 格式塔（完形）与意象的建构效度 具体与抽象的相对性、可变性 例习题情境信息的冗余度与呈现时序 多媒体与土教（学）具 学具和图示的辅助性 此过程教师的引导行为问题讨论,1、具体抽象, 意象（图景，表象）是从具体到抽象的关键中介,讨论 1. 苏教版 引入和建构乘法概念，意象支撑的生长意义分析,观察：引入和建构乘法概念中，意象支撑且同步生长的进程,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的进程分析,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,讨论 乘法概念引入建构中，意象支撑且同步生长的意义,数学化过程中，为了发展儿童的抽象概括能力， 既要提供合乎儿童经验的具体支撑， 又要层次有序地、在可能范围内将其逐渐升华。 如 建立乘法概念 运算算理与算法的关系 所谓 算理具体 算法抽象,讨论 2. 北师版 鸡兔同笼问题 连贯的抽象过程的动态意象,讨论 过程连贯的动态意象,格式塔（完形）与意象的建构效度,讨论3 人教版 9加几 1、格式塔（完形）： 原型的选择与意象的建构效度 2、案例研究 ： 关键环节的直观性教学的展开结构,格式塔（完形）与意象的建构效度 讨论 20以内的进位加的不同图式的支撑强度,讨论 20以内的进位加的不同图式的支撑强度,讨论：（结合以上案例）,数学内容的意（表）象的建构过程中，核心是什么？ 变或不变的数学要素 能够直观甚至动态的凸显在学生脑海。,讨论4、 具体与抽象是相对的、可变的 小插曲: 关于质数与合数概念的教材比较,北师版,苏教版,讨论5 人教版 运用两步计算知识解决实际问题 例题情境信息的冗余度 及其 呈现时序,例题情境信息的冗余度与呈现时序,情境及其呈现过程应该成为学生由此及彼、由表及里、由浅入深进行学习活动的有效依托。 不宜过繁过杂 呈现信息的方式和顺序，要有利于全班学生获取数学信息，发现、分析数量关系。 有序、有节奏地适时呈现,讨论6 多媒体与土教（学）具 案例：认识正方体 附：人民教育出版社 高级小学课本算术第二册 1956年5月第三版P.P.54-55，,人民教育出版社高级小学课本算术第二册1956年5月第三版P.P.54-55,“把正方体放在纸上，沿着它的一个面的四周画四条直线，结果就在纸上画出了正方体这一面的图形。 拿尺子和三角板把这图形的各条边和各个角量一量，再把正方体的每一面放在这个图形上看看。结果怎样？ （图略）,“在正方体的每一面上写一个数字，从1开始，顺次写1、2、3最后写的是什么数字？一个正方体有几个面？ （图略） “正方体有6个面； “所有的面都是正方形，而且大小都相等。”,人民教育出版社高级小学课本算术第二册1956年5月第三版P.P.54-55,讨论7、 把握学具和图示的辅助性,利用教具演示、学具操作、线段图，是教学的辅助策略。不得本末倒置，人为拔高教学要求。 数学课程标准中，无论是实验稿还是今年颁发的2011年版，都没有把线段图列为课程内容。各版本教材中，画线段图只作为学习的拐杖和一种常用的辅助策略，教学实践中，它可以作为某些关门过节的特定阶段多数学生作业练习的要求，但不作为教学基本要求和考试内容； 引用这些辅助策略，要通盘考虑小学数学内容的节点，循序安排。学生领受和操作的技能要求，要循序渐进。,波利亚说过，只要数学学习过程稍能反映出数学发明的过程的话，就应当让猜想、合情推理占用适当的位置。 教学基本策略：不完全归纳 经验积累：关注学生发展数学认知结构过程中的倾向性问题,2、个别 一般,讨论,小学数学教学中，不完全归纳的地位作用 组织学生进行不完全归纳的体验与问题,不完全归纳 中国传统数学最本质的方法是归纳，以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式。 小学数学教材中，众多的重要规律和结论，留待组织学生归纳。 讨论： 进行这种不完全归纳，引导和帮助学生从个别到一般，我们必须遵循哪些基本要领？,2、个别 一般,2、个别 一般,不完全归纳,关注例证数量，以利猜想定向。,关注例证呈示，促进学生参与。,关注例证层次，调节教学梯度。,关注例证类型，保障概括广度。,关注例证数量，以利猜想定向。 讨论：归纳的或然性, 不完全归纳中，例证数量很大，不等于例证充足。这种归纳的或然性，可以用不同插值（回归）方法的几何结果直观的呈示出来。建议阅读:拉格朗日插值法（插值法中相对通俗的内容）,例证的数量越少，猜想发散或偏差的概率越大。反之亦然。即便不用简单的条件概率贝叶斯公式来严格推断这个结论，每个教师实践的经验也能帮他验证这一点。譬如下面简单的3行测试题中，假定教师期望括号里填的数是4，那么，学生的猜测与之吻合的概率，通常会次第减小。 1，2，3，（ ）。 1，2，（ ）。 1，（ ）。,关注例证数量，以利猜想定向。 讨论：归纳的或然性,2.这种归纳的或然性，可以用不同插值（回归）方法的几何结果直观的呈示出来。 建议阅读:拉格朗日插值法（插值法中相对通俗的内容）,1.不完全归纳中，例证数量很大，不等于例证充足。 不妨了解：初等数论中有关构造素数的史例，如式 N = nn+n+41,n=1,2,3,.39,40.,关注例证类型，保障概括广度 讨论 从具体例证概括出异分母分数加减的算法,新世纪教科书通过引导学生探究 12 + 1 4， 34 + 58，910 16 等多个算式的具体算理算法之后，引导学生交流， 从个别到一般，逐步概括出“分母不同的分数相加减，先要通分，化成分母相同的分数，再加减。”,而我们有的教师仅仅完成12 + 1 4 这第1道算式的教学，就组织学生归纳异分母分数的加法计算方法； 有的教师为了便于呼应折纸活动，设计的前3道算式是 12 + 1 4， 12 + 18， 14 + 18. 接下来，引导学生归纳异分母分数的加法计算方法。 讨论：上述课堂教学均未达到预期效果的原因。,关注例证类型，保障归纳抽象度 讨论 小数的认识，从不同类型的量值抽象出小数,2、个别 一般,关注例证呈示，促进学生参与。 排布。 五年级探索商不变的规律，板书或投影算式，宜成一纵列。 色彩。 混合型数列的板书，必要时可用两种颜色粉笔板书。 关注例证层次，调节教学梯度。 （后面将结合其他角度给出例子）,基本策略： 沟通联系 前提： 了解学生，把握每节课新内容的生长点 类比（亦称类比推理或类推） 利于数学建构的学生熟悉的情景,3、已知未知,3、已知未知 基本策略：沟通联系,数学的生命力在于联系 数学各部分之间的联系， 数学与外部的联系。,利用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题的教学,利用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题（旧称“两步计算的应用题”）的教学，是培养学生应用数学知识解决简单实际问题的能力的关键环节，是后续的解决实际问题内容的重要基础，是学生积累数学活动经验、策略和方法、发展数学应用意识、体会数学价值的重要载体，也是学生体会和概括混合运算顺序和运算律的必要支撑点。这些内容是小学数学教学的重点和难点，它的教学质量，直接影响着每一位学生小学乃至中学的数学学业水平和学习态度，直接关系到九年义务教育数学课程“数学思考”、“解决问题”的目标达成。,用整数（分数）混合运算知识解决简单实际问题的教学,教学思路与关键 问题：起始课的新内容生长点，靠学生已有生活经验的自然支撑，还是靠学生已有数学基础（如利用加法或减法、乘法、除法的知识解决简单实际问题，旧称一步应用题）的支撑？,每道应用题的内容包括两个方面，一是事物的情节，二是数量关系。每个题目由已知条件和问题构成。学生解答应用题是要通过对事情的理解和对数量关系的掌握来确定算法的。因此创设学生熟悉的情境，帮助学生理解和掌握应用题的数量关系，提高分析应用题能力，是正确解题的重要条件。 观点1、创设学生熟悉的应用题情境 观点2、将一步题中任一条件变为间接条件，将一步题变成两步题，引导学生参与两步应用题生成的具体过程，并通过对比，感受数量关系逐步复杂化的过程，切实把握两步应用题的基本结构。,义教大纲版教材例题与教案,1、出示准备题（一步）：商店里有24个皮球，卖出20个，还剩多少个？ （自己解答） 2、把“24个皮球”置换为“6个白皮球和18个花皮球”： 生成例题（两步）：商店里有6个白皮球和18个花皮球。卖出20个，还剩多少个？ 3、引导学生观察比较，两题有什么相同，有什么不同，使学生认识到： 上面的题告诉了我们“商店里有24个皮球”，而下面的题没有直接告诉我们：商店里一共有多少个皮球。如果先算出它来，就变回到上面的题，接下来，就可以用上面题的方法解决问题。,把握本课与前后相关内容中“已知未知”的内在联系，从学生的已有基础（如利用加法或减法、乘法、除法的知识解决简单实际问题，旧称一步应用题）上.找准新内容的生长点和学生学习的最近发展区，抓住教学关键“先算什么”或“先想到什么”（即所谓“中间问题”或“执果索因”），引领学生把较复杂的内容分化为利用已有经验可以逐步解决的问题，从原有数学认知结构基础上生长成新的、较高级的数学认知结构。,适时渗透，适度沟通,确立整体观念，在一步应用题教学目标基本达成后，适当进行简单、有效的渗透孕伏。 根据条件来补充（或选择）合适的问题 根据问题来补充（或选择）缺少的一个条件 连续两问的一步应用问题。,扩题训练 在认识间接条件的基础上，让学生将一步题中任一条件变为间接条件，将一步题变成两步题，培养训练学生形成转化直接条件为间接条件的能力，提高学生对数量关系逐步复杂化过程的认识。 缩题训练 即让学生先找出间接条件，然后通过“算一算”将其变为直接条件，将两步题缩为一步题。这种对间接条件的分析和转化，实际是对两步题解题思路的分解训练，有利于突破两步应用题的教学难点。,（1）数学知识内部生长点 讨论 了解学生,新世纪版五年级数学下册第5859页第五单元分数混合运算（二） 第一课时：解决问题。本课教材内容是进一步利用分数混合运算知识解决实际问题。 本课是这个单元中利用方程解决实际问题的基础，也是六年级学习“百分数的进一步应用”的基础，同时也为下一课时体会整数的运算律在分数混合运算中同样适用提供了具体例证。在发展学生利用数与代数知识解决实际问题的能力方面，本课时具有不可替代的重要性和典型性,数学知识内部生长点 讨论 围绕本课重点，了解学生在建构例题出示的2种模型的过程中常会发生的情况,本节课的基础 上一课时的分数混合运算知识 之前的利用整数混合运算知识及分数乘法意义解决实际问题等内容。,数学知识内部生长点 讨论 了解学生,已有的知识基础（含知识技能、过程方法） 测试内容 调研方式 正确率 分数混合运算 抽样笔试 89% 利用整数混合运算知识 解决实际问题 抽样笔试 95% 利用分数乘法的意义 解决实际问题 抽样笔试 90%,（2）学生的已有经验 讨论 了解学生,生活经验：能理解生活中“成交量”的含义。 数学活动经验：学生经历过利用整数混合运算知识、分数混合运算（一）中利用分数乘法意义解决实际问题的探究过程，积累了“抓隐蔽的中间问题”的数学活动经验，以及画图帮助理解、分析数量关系的经验，具备一定的解决这类稍复杂问题的建模能力。,（3）学生学习可能的困难 讨论 了解学生,1、探索能力的差异： 约85%的学生能根据以往积累的建模经验，自主分析问题、解决问题。 但约15%的学生独立自主建模的能力不足，如分析数量关系时，由于不常用和不会用画图策略，不能感受到这种策略的价值，对学习用画图策略分析较复杂的数量关系产生一定的障碍。 2、策略（二）的建构： 对于策略（二）的“第二天成交量是第一天的（1+ 1/5 ）倍”这一数量关系，学生难以自主发现和理解，前测中仅有5%的同学运用这一策略解决问题。,讨论 处理已知与未知的关系,针对本节课重难点，从教材的整体结构和学生已有的认知结构中，寻找和把握本课内容的支撑点和生长点 进行抽样前测，了解学情，分析教和学的关系。 如例题中的画图表示，再如例题的建模策略一，由于多数学生在“四基”方面，都具备了相应的支撑点，就充分发挥学生的迁移能力，多让其自主探索。 而学有所困的地方，如例题建模策略二，既要利用显性条件“65辆”这个量，还要发掘利用隐性条件整体“1”这个率，更要同时运用“第一天成交量”的“量、率双重数据”进行列式建模，对大多数学生来说，自主建构这种策略的数学思维水平尚未具备，于是，教学中就力求通过师生互动、启发思考加以解决。,2）类比,类比（亦称类比推理或类推）是一种重要的数学思想方法，被古今数学大师誉为数学创造的重要向导，发现真理的主要工具。 什么是类比？庞加莱的解释通俗明澈： “最初，他必须辨认这个问题与用这种方法已经解决的哪些问题类似； 然后，他必须考查这个新问题在什么方面与其他问题不同，从而推断应用该方法所必须的修正。” （H . 庞加莱，数学中的直觉和逻辑。李醒民译，世界科学，1988.第4期）,类比 分析北师教材小数除法的算法探究,分析北师教材小数除法的算法探究,依托具体数量背景，借助人民币单位间的换算，把11.5元置换为115角，将11.55转化成1155。利用整数除法竖式，算出甲商店牛奶价格是23角/袋 依托具体数量意义，根据11.5的小数组成，借助估算协同，先将被除数的整数部分“11”除以5，类比整数除法竖式算法，求出商的整数部分“2”；然后根据小数的意义，借助具体直观支撑，将竖式中整数部分所余的1，转化成较小的计数单位表示的数“10个十分之一”，与被除数原有的同单位的数“十分位上的5”合起来，是“15个十分之一”，再除以5，得出部分商是3个十分之一，“3”应该写在商的十分位，在3的左边点上小数点来表示。在过程中，领悟“商的小数点与被除数的小数点对齐”的道理。 观察对照整数计算和小数计算的竖式，通过类比，初步完成从整数除法向小数除法的竖式算法的迁移：除数是整数的小数除法竖式算法和整数除法的基本相同，增加的新步骤是，商的小数点与被除数的小数点对齐,3）利于数学建构的学生熟悉的情景,外部经验 蕴含数学结构的生活情境，是学生已知乃至熟悉的 如一年级加法、减法的认识，等等。,3）利于数学建构的学生熟悉的情景,3）利于数学建构的学生熟悉的情景,建议1锅烙3饼后置，例子情景改为： 一桌2拍3人练乒乓，2绳3人练跳，2电脑3人练打字，等等。,基本策略：把握整体结构，系统连贯地提升学习效益 教学模块的演进符合整体结构生长逻辑 探求新的结构，融通支离的教学内容 复习课的目的功能： 系统整理 补缺补差 沟通联系 综合运用,4、局部整体,教学模块的演进符合整体结构生长逻辑 北师版 购物策略 例题与习题数学结构复杂度,讨论,讨论：教学模块的演进符合整体结构生长逻辑,例题与“练一练”二者的顺序安排分析 “练一练”揭示 “大包装比小包装便宜”的数学本质， 例题的第4问，既涉及之后 “练一练”揭示的“大包装比小包装便宜”，又要考虑前3问涉及的“买1大瓶送1小瓶”和打折情况，比之后的练一练复杂， 或者说，练一练应该是例题第4问的基础 最便捷的，我们可以将例题的大瓶容量1200ml和小瓶容量200ml的条件隐去,教学模块的演进应契合学生的数学发展成长逻辑,讨论： “烙饼“与“泡茶“学生自主解决哪个问题更顺手？把谁安排在前？理由何在？,教学模块的演进应契合学生的数学发展成长逻辑,教材中呈现了两种解题思路： 一是把比转化成份数，先求出每一份来解答； 二是把比化为分数，用分数乘法来解答。 实际教学两种方法时，多数教师通常是齐头并进：即引导学生根据比找出相关信息，如“谁是谁的几倍”、“谁是谁的几分之几”等，接着放手让学生结合这些信息，或独立思考、或小组合作解决问题，最后同时交流评析两种方法。,2种模型的大班教学如何契合学生的数学建构的成长逻辑,表面上看似乎是培养了学生独立探究的能力，但实际效果如何呢？ 我市某区直小学的教学骨干在两个平行班做了例题教学之后的初步反馈情况的调研，结果如下：,班级 整数知识解答 分数乘法解答 未完成的 六（1） 56% 21% 23% 六（2） 57.1% 12% 30.9% 结果显示两个班均有学生未完成练习，解决问题时速度偏慢，两种解法人数比例失衡。 反馈交流时，对两种方法尤其是分数乘法解决问题的理解不透彻，效果不尽人意。,面向全体、关注差异， 使2种模型的大班教学契合学生的数学建构的成长逻辑,究其原因，教师未考虑到儿童的实际感受和可能水平，放手过快。 从学生已有经验出发，多数学生更易掌握前种方法 故教学中教师应顺应学生思维，可以以整数知识解决问题为依托，逐步迁移到分数知识解决问题，侧重结合凸显策略，从而有效构建解决问题的模型。,面向全体、关注差异， 使2种模型的大班教学契合学生的数学建构的成长逻辑,提炼出用整数知识解决问题的策略，练习巩固， 在此基础上，引导学生思考、交流，将比转化为分数，从整数知识迁移到分数知识解决问题。让学生充分展示思维过程，由具体形象向抽象作出跨越，从而逐步构建解决按比例分配的实际问题的模型。 整理、比较，理解两种方法之间的内在联系，促进融会贯通。,儿童的思维处于形象思维到抽象思维过渡时期，之前的知识铺垫为学生提供了充分必要的感性材料，但提供直观最终是为了脱离直观，推进抽象思维。 上述片段中，顺应一般学生具体形象思维，既面向全体又因材施教，通过观察找到部分量和总量对应的份数，学生很快提炼出用整数知识解决问题的策略，再改变比，巩固这一策略， 在此基础上，引导学生思考、交流，将比转化为分数，从整数知识迁移到分数知识解决问题。其间，让学生充分展示思维过程，呈现学生所思所想，学生的思维由具体形象向抽象作出跨越，从而逐步构建解决按比例分配的实际问题的模型。,反思比较，强化数学模型 学生对于数学问题进行了观察、思考、交流、概括等一系列思维活动，通过两种不同思路，初步建立起解决按比例分配实际问题的模型，学生虽然解决了问题，但其过程和方法还需进一步整体把握，以使学生形成一个理性、清晰、完整、系统的认知结构，从更高层次上提高数学建模的经验和能力. 因此教师有必要引导学生进行数学层面的分析，回顾、整理、反思、比较，帮助学生梳理和巩固新知，理解两种方法之间的内在联系，促进知识的融会贯通，从而强化数学模型。,教学片段（二）,1、反思比较相同点 师：刚才同学们用不同的方法解决了问题，仔细观察两种方法，它们有什么相同点？ 生；都是先算出稀释液体积是5份。 师：根据什么算的？ 生：根据浓缩液和水的体积比是1:4。 2、反思比较不同点 师：接下来的计算一样吗？谁能说说。 生：不一样，方法一求出稀释液体积的总份数后，再求出每份是多少亳升。浓缩液体积是1份，就是100ml，水的体积是4份，用100乘4等于400ml；方法二求出稀释液体积是5份后，可以知道浓缩液占稀释液体积的 ，水占稀释液体积的 ，用500 、500 分别求出浓缩液和水的体积。 师：也就是根据比，即既可以用整知识解决问题，也可以用分数知识解决问题。,面向全体、关注差异， 教学模块的演进应契合学生的数学发展成长逻辑,上述片段中，教师在学生获得成功之后，组织学生回顾整理，反思比较，把感性零散的知识变成理性系统的知识，在感性基础上升华为理性经验，逐渐形成可操作性的解决按比例分配的实际问题的数学模型，将学生已有的数学知识、方法和活动经验融为一体，学生思维的灵活性、深刻性和广阔性得到锻炼和提高，解决问题的方法和途径手段更加丰富。,探寻新的结构，融通支离的教学内容 人教版 苏教版 植树问题 3种情况的教学内容处理与时效性的关键,借数学方法作主干，把零散内容结构化,“植树问题”在小学数学教材内容中的演化历史以及新教材的应用性拓展 “植树问题”（在一条线段上）的3种基本情况的教材内容编排 实际教学的症状与我们的实验。 教材处理与时效性的关键：优化数学内容的结构，奠定学生的探究基础，融通支离的教学内容。 一一对应,各课标实验版 乘法初步认识 引入乘法算式一式两含义之利弊,讨论 乘法初步认识中引入乘法算式一式两含义之利弊,乘法初步认识中引入乘法算式一式两含义 增加起点密度难度 乱了教材整数乘法内容体系 无补于分数乘法算式含义的不对称性,讨论,系统连贯地提升学习效益 确立整体观念，适时进行必要、适度和有效的渗透孕伏,知识技能： 如 线段图 学生领受和使用操作图示的方法，要循序渐进。应从观察教师示范、耳濡目染，再到动手操作；从操作学具，再到画示意图，画简单的线段图，最后才有可能画较复杂的线段图； 过程方法,确立整体观念。转化、类比、归纳、以简驭繁等数学思想方法是本课的生命，可它并非新生命小数的意义及加、减、乘的算法建构都蕴含这些数学思想方法。早作整体安排，逐课潜移默化，不断积累，本节课的以简驭繁就可能少些虚浮，多些自然。 关于小数除法笔算教学设计问题的讨论,过程方法,复习课目的功能： 系统整理 补缺补差 沟通联系 综合运用 如分数应用问题的复习，不妨以分数基本应用问题为一个支点（枢纽），用同一种数量关系来揭示这3种分数基本应用问题的关联，它们不同的只是已知和未知发生了置换。 可用具有启承关系或对比关系的题组为 素材，题与题之间尽量消除非实质性因素如题境、具体数据的变动，让变动的要素有效显现这组题之间实质性的关联，利用小学生易被变动的东西吸引的认知特点，帮助他们把注意目标集中到3种分数基本应用问题的联系与区别上. 这样，促进学生审题、提取数量关系信息的能力发展。而后，这组分数基本应用问题既是稍复杂的分数应用问题的奠基结构，也是解决稍复杂应用问题的化归目标。,4、局部整体,5、简易繁难,从简易到繁难，是教材编者和一线教师都努力践行的明理。 希尔伯特在数学问题谈到：“可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因，是在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决或是完全没有解决。这时，一切都有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一”。 这种从简易到复杂繁难，系统解决数学问题、建造数学本体结构的基本思想方法，历久弥新。,5、简易繁难,良知：了解和化解学童的数学认知障碍 自问：知己知彼的职业功夫做了多少？ 关键策略：化归（前提：厘清源流） 选好支点，以简驭繁 面向全体，化繁为简 重难点分布密度要符合小学生的认知水平 追问：在数学关键点，学生的认知需求，感性经验或切身体会或敏感点,化归：厘清源流,选好支点，以简驭繁。 面向全体，化繁为简,面向全体，化繁为简 例新世纪版教科书送温暖笔算除法内容丰富,探索并掌握三位数除以一位数、商是两位数的笔算除法的算理和算法； 学习用乘法验算除法的方法（以上均包括能够整除和余数不为0两种情况）； 渗透在正整数范围内“被除数不变，除数大，商就可能大”等多个规律； 紧密结合估算培养学生的数感、符号感。 教师第一次研讨课，教学的重点“多极化”，教学时间分得较散，课堂效益不理想。,厘清源流，选好支点，以简驭繁,经过反思，我们盘点梳理全课的内容，讨论了“简单繁杂”的辩证关系，厘清发展线，找出支撑点，明确了本节课最基本的目标是“探索并掌握三位数除以一位数、商是两位数的笔算除法的算理和算法”，并且，重中之重，在于扎实有效地组织好首商定位和计算首商这两个环节的教学。,厘清源流，选好支点，以简驭繁,除了第1个例题的教学对此侧重，我们还活用教科书上的习题4326，2997：在第1个例题结束后， 设计一层专项练习借助教科书上的这几题，首先让全班学生独立练习竖式的首商定位和首商计算，并全面反馈，认真评价，即时诊断，确保学生们在这个关门过节的点子上不欠帐； 其次，要求学生们进行完整的笔算练习，先练没有余数的竖式计算，反馈笔算过程； 然后引导学生从加减法笔算的验算方法，自主类推出这里用乘法验算的方法 接下来，试算结果出现余数的算式，进行反馈评价。 最后通过比较相关算式，渗透“被除数不变，除数大，商就可能大”等规律。,从这里不难把握“以简驭繁”的 操作关键 积极引导教师唤起自身的责任感和好奇心，坚持在具体的教学活动中用心了解学生。包括了解学生的认知需求，切身体会或敏感点。对倾向性、代表性、关键性问题，认真调查诊断。注意积淀省悟，促成教学相长。 从教材结构整体，从九年义务教育以至人生发展的整体上，琢磨每节课最重要的价值追求，阶段目标，达成门径；从具体的教学实践中，努力体察数学教学的多元目标与基本目标的辩证关系。 厘清源流，分清缓急，化繁为简,厘清源流，选好支点，以简驭繁 了解和化解学童的数学认知障碍,九义教材“除数是小数的除法”三个例题 从简易到繁难依次如下： 3.22 / 0.14 10.44 / 0.725 87 / 0.03 改动教材：第一道习题 4.68 / 1.2 移作基本例题 附： 苏教版小数除法计算例、习题配置,5、简易繁难,面向全体，化繁为简 分析源流，以简驭繁,以简驭繁 分析源流关系,本课两例范式： 11.55 = 2.3 12.96 = 2.15 前例是初步探究算法类比的共性问题：除数是整数的小数除法的竖式算法和整数除法的基本相同，添的一个新步骤，只要商的小数点与被除数的小数点对齐就行了。此乃本源，算法本身虽简，探究生成却不简单，更何况它是整个单元的支撑点，所以这“简单算法”教学须切实，引出源头活水来； 后例属除数是整数的小数除法竖式算法的一类特殊情况，乃支流，算法虽复杂些，只须以简驭之，在前例基础上专攻一点除到被除数的小数末尾还不能除尽，要添0再除的问题。体现简单与复杂的这种辩证关系，目标分解和教学结构设计才可能合理。 早作整体安排 关注学习准备,讨论,重难点密度要符合小学生的认知水平 北师教材 基本应用题安排密度的变化 比较 2012版一年级上册（全册）： 一共有多少 还剩下多少 另一部分是多少 2006年版 一年级上册 一个单元 10以内数的 加与减（一）：,混合运算顺序与两步应用题 纳于同一课时,混合运算顺序与两步应用题 纳于同一课时,根据学生已有数学经验，恰当处理列综合算式的问题 从解决问题的角度看，学生列算式，是对例习题中的数量关系、以及学生本人的基本思路的一种数学表达。 评价这种表达的核心要素，是正确与清晰，而分步列式并不妨碍这种评判； 从九年义务教育数学教育的整体需要看，要学习初中阶段利用方程或函数解决实际问题的内容，需要学生在小学阶段就掌握一些列综合算式的基本能力； 学生凭借列一步算式解决问题的经验基础，学习分步列出两道算式解决问题，是他们数学学习上的一次重大跨越；那么，学生从学会分步列出两道算式解决问题，再到正确列出综合算式，则是他们的另一次重大跨越，跨越的难度和需要的教学时间并不亚于前一次跨越。 因此，在利用整数混合运算知识解决实际问题的起始课上，要正确看待和循序处理分步列式与综合列式之间的关系。必须从本班学生实际出发，拟订起始课教学要求，不搞一刀切；,关于分步列式与综合列式,问题情境中的事理，应考虑与学生经验的距离，由近及远； “中间问题”的隐蔽程度，应注意由浅渐深； 已知条件的数量，一般从有3个必要条件的题目起步。而只有2个必要条件的题目，对学生思维要求较高，通常不在起始课教学；此外， 有2个必要条件和1个多余条件的题目则挑战性更大； 分析数量关系的切入角度，多数学生自发的做法是从已知条件开始入手（旧称综合法），他们从问题入手（旧称分析法）的意识和能力正待逐步培养。组织算法多样及其交流方面的教学，则应根据全班学生的需求状况和已有基础，择机而行；,关于影响稍复杂应用问题梯度的因素,追问： 在数学关键点，学生的认知需求，感性经验或切身体会或敏感点在哪里？,用统计观念切入平均数概念,数学教学内容的科学性与阶段性讨论 概率课堂上该不该做摸球实验？,数学教学内容的科学性与阶段性讨论,概率课堂上该不该做摸球实验？ 虽然现代概率摆脱了初期发端于实验的较直观的定义的含混导致的逻辑悖论，建立起严格的公理化体系，但在中小学阶段，目前还没看到这样的学习起点。 换句话，如果说儿童的数学认知特点与人类较早的数学思维往往有相似处，那么，目前的课堂实验可能是小学生重要的数学活动。,数学教学内容的科学性与阶段性讨论,怎样避免课堂上尴尬的摸球实验数据？ 接下来的话题自然转到如何在实验设计和调控上趋利避害，达成目标。 我们知道，在理想状态下，当实验次数充分大的时候，某种特定事件发生的频率，也充分的接近它的概率。但是，在这种接近的总体趋势下，通常不一定一次比一次更接近，而是跳跃的忽远忽近的接近。课堂上实验次数毕竟很有限，调控实验精度、解释与模型的误差，是我们讨论的要点。,怎样避免课堂上尴尬的摸球实验数据？,1、确立大数支撑意识，避免实验样本容量过小 教师仅指定屈指可数的学生参与抛硬币或摸球游戏，甚至每次仅让一个学生来猜测结果。唯一容许发言的猜测者连连猜中，全班学生哗然一片，顿时阵脚大乱。 概率论是在大数背景下反映偶然中的必然的数学分支：其实一个学生每次猜中硬币朝上的面的概率为1/2，由乘法原理，连续2次猜中硬币朝上的面的概率为1/4，连续5次猜中硬币朝上的面的概率为1/32。换句话说，一个32人的班级可能某1个学生会连续5次猜中、或者一个64人的班级可能某4个学生会连续4次猜中是不足为奇的现象。,怎样避免课堂上尴尬的摸球实验数据？,因此，全员参与是这类游戏活动的不可动摇的基本原则。 何况，假定进行1次猜测活动耗时10秒钟，那么一个32人的班级全员参与3次，相当于指派4个学生每人参与24次，而前者耗时30秒，后者耗时则为240秒。,问题2-3-2. 怎样避免课堂上尴尬的摸球实验数据？,课堂上每个小组参与活动的人次毕竟有限，随机徘徊理论告诉我们，囿于样本容量，少数小组活动的实验数据背离相应古