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常微分方程 毕文彬,1,常微分方程常见形式及解法,知行1301 13275001 毕文彬,常微分方程 毕文彬,2,微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：,常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：,（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。,常微分方程 毕文彬,3,常见例子,以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变数为x，c及均为常数。 非齐次一阶常系数线性微分方程： 齐次二阶线性微分方程： 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程： 非齐次一阶非线性微分方程： 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：,常微分方程 毕文彬,4,微分方程的解,微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f()=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，,常微分方程 毕文彬,5,01,02,简易微分方程的求解方法,一阶线性常微分方程,二阶常系数齐次常微分方程,常微分方程 毕文彬,6,一阶线性常微分方程,对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法： 对于方程： 可知其通解： 然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值,01,常微分方程 毕文彬,7,二阶常系数齐次常微分方程,对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下): (在的r1r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：,02,常微分方程 毕文彬,8,01,02,03,04,一般通解,可分离方程,一般一阶微分方程,一般二阶微分方程,线性方程 (最高到n阶),常微分方程 毕文彬,9,可分离方程,01,常微分方程 毕文彬,10,一般一阶微分方程,02,常微分方程
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