《li84曲面及其方程》PPT课件.ppt

高等数学,第八章,第四节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,曲面方程的定义,如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0 有下述关系:,关于球面方程的说明:,定义2. 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,旋转曲面的方程的一般结果：,旋转抛物面,例如,解,解,旋转椭球面,解,单叶旋转双曲面面,解,双叶旋转双曲面面,三、柱面方程与图形,C,L,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,1. 椭球面,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),用平行于坐标面的平面截椭球面,得到的截痕 都是椭圆.,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,(1). 椭圆抛物面,2. 抛物面,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,(1). 椭圆抛物面,.,2. 抛物面,原点叫做椭圆抛物面的顶点.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,（马鞍面）,(2). 双曲抛物面,截痕法,.,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,.,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,双曲抛物面又叫马鞍面.,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到 ),内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,了解(画)曲面的形状的一种方法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状,几种特殊的二次方程的曲面：,3、二次曲面总结,截痕法。,1、方程,曲面与坐标面的交线：,椭圆,曲面与平面 的交线,椭球面,2、方程,曲面与坐标面的交线：,椭圆,曲面与平面 的交线,单叶双曲面,双曲线,3、方程,曲面与坐标面的交线：,双曲线,椭圆,双叶双曲面,4、方程,曲面与坐标面的交线：,抛物线,椭圆,抛物面,5、方程,曲面与坐标面的交线：,抛物线,双曲线,双曲抛物面（马鞍面）,*6、方程,（椭圆）锥面,*7、方程,（椭圆）柱面,*8、方程,（双曲）柱面,*9、方程,（抛物）柱面,*10、方程, 一对（相交）平面,*11、方程, 一对（平行）平