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第五章 大数定律和中心极限定理,计算机教研室 王晓娜 E- mail: 办公电话：3029132,5.1 大数定律,定理的意义：,当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.,具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的 算术平均值依概率收敛于数学期望.,定理5.2伯努里（Bernoulli） 大数定理,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是 每次试验中 A 发生的概率, 则,或,在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互 独立的服从 0-1分布的随机变量序列 Xk 的 算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p .,结果同样适用于服从其它分布的独立随 机变量序列,事件发生的频率就是事件发生的概率。,5.1中心极限定理,林德伯格-列维中心极限定理, 独立同分布的中心极限定理 ,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 二项分布以正态分布为极限分布 ,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),（独立同分布的中心极限定理）,定理 一,定理二（李雅普诺夫Lyapunov定理）,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）,定理三,例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击,(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.,解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则,(1),(2),例2：P127T12 一公寓有200户住户，一住户拥有汽车辆数X的分布律为,问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为0.95.,解：设Xk为第k个住户拥有汽车的辆数。n为需要的车位数。,例4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？,解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，,X 为开工的车床数 ,则 X B(200,0.6) ,X N (120, 48) (近似),由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理, 有,问题转化为求 a , 使,反查标准正态函数分布表，得,X N (120, 48) (近似),令,例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.,解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,X B( 6000 , 1/6 ),由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,则,有,中心极限定理的意义,在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量
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