《偏导数和全微分》PPT课件.ppt

对一元函数：,导数,对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，,6-4 偏导数与全微分,1. 一阶偏导数(偏微商)的定义,或,或,偏导数，记为,或,求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.,例1,解,例2 设,解,例3,解法1,解法2,(先代后求),(先求后代),例4 设,解,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例5,解,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,偏导数的几何意义说明了: 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.,2. 高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,例6 设 ，求二阶偏导数.,解,注意:此处,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,例7 证明 满足平面拉普拉斯方程.,证,利用对称性 , 有,一个含有未知函数的偏导数的方程式称作偏微分方 程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.,例8 证明函数,满足拉普拉斯,证,利用对称性 , 有,方程,拉普拉斯算子,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,3.全微分,设二元函数为,全增量：称 为函数在点 处的全增量.,所以有,可用 与 的线性函数近似代替.,定义,为函数在 处的全微分,记为：,设 在点 的某个邻域内有定义,其中 只与点 有关而与自变量的改变量 无关,则称 在 处可微，并称,- 全增量 的线性主要部分,当 在区域 内每一点都可微时,称函数在 可微.,若 的全增量,对于一般的二元函数，我们也希望能用 的一个线性函数来近似代替,为此，引进全微分的概念.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理2,若 在 处可微,定理3,若 在 处可微,则它在 处的两个偏导数存在,且,证 由全增量公式,若 在区域D 内可微,则在D内任一点 的全微分可写成,或写成,定理3告诉我们偏导数存在是二元函数全微分存在的必 要条件，但不是充分条件 .,例 函数,易知,它在(0,0)点的偏导数存在,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,但它在(0,0)点并不连续.,另一方面，连续是可微的必,要条件.,由此可见，这个函数在(0,0)点不可微.,定理4 (可微的充分条件),证 考察函数的全增量,(应用拉格日中值定理),故有,代入到（*）式得,事实上,由夹逼定理得,因此,推论,若 是 中的一个区域, 而,也即 在区域 中有连续的一阶偏导数, 则 在 内可微.,初等函数在其定义域内是连续的,所以对于初等函数, 只要偏导数存在就一定可微.,例9,解,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系: