数在计算机中的表示.ppt

第二章 数在计算机中的表示,主要内容：,2.1 数的进制和在计算机中的表示 2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,2.1计算机中信息的表示, 概述,计算机在目前的信息社会中发挥的作用越来越重要，计算机的功能也得到了很大的改进，从最初的科学计算、数值处理发展到现在的过程检测与控制、信息管理、计算机辅助系统等方面。计算机不仅仅是对数值进行处理，还要对语言、文字、图形、图像和各种符号进行处理，但因为计算机内部只能识别二进制数，所以这些信息都必须经过数字化处理后，才能进行存储、传送等处理。 在计算机系统中，数字和符号都是用电子元件的不同状态表示的，即以高低电平表示 。,2.1计算机中信息的表示,进位计数制的概念,按进位的原则进行计数称为进位计数制，简称“数制”。在日常生活中，除了采用十进制计数外，有时也采用别的进制来计数。例如：十二进制、六十进制等。,在进位计数制中，每个数位所用的不同的数字的个数叫做“基数”，十进制由0，1，2，3，4，9等十个不同的数字组成，也就是说十进制的基数是10。,十进制计数的特点是“逢十进一“。在一个十进数中，需要用到十个数字符号09，即十进制数中的每一位是这十个数字符号之一。一个十进制数可以用位权表示。,2.1计算机中信息的表示,进位计数制的概念,1、位权 在一个十进制数中，同一个数字符号处在不同位置上所代表的值是不同的；一个数字符号，不管它在哪一个十进制数中，只要在相同位置上，其值是相同的。 通常称某个固定位置上的计数单位为位权。在十进制计数中，十位数位置上的位权为101，在小数点后第 1位上的位权为10-1。 例如：十进制数234.13用位权表示成: (234.13)10=2102+3101+4100+110-1+310-2,2.1计算机中信息的表示,进位计数制的概念,2、常用的计数制 1）十进制数，含有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个基本 数字，进位是“逢十进一” 。通常十进制的表示形式为(152)10或(152)D。 2）二进制数。二进制只含有0、1两个数字，通常二进制的表示形式为(110)2或(110)B。 例如：(10.01)2 的位权表示法为：12102002-112-2 3）八进制数。八进制数含有0、1、2、3、4、5、6、7八个基本数字，通常八进制的表示形式为(152)8或(152)O。 例如：(23.4)8的位权表示法为：28138048-1 4）十六进制数。十六进制数含有0-9、A、B、C、D、E、F十六个基本数字，通常十六进制的表示形式为(15D)16或(152)H。 例如：(A2.9)16的位权表示方法为：101612160916-1,2.1计算机中信息的表示,计算机与二进制数,计算机采用二进制的原因 1）容易实现：二进制在硬件技术上容易实现，只需 两个状态。 2）运算简单：二进制运算规则简单，操作实现简便。 3）工作可靠：由于采用两种稳定的状态来表示数 字，使数据的存储、传送和处理都变得更加可靠。 4）逻辑判断方便。,2.1计算机中信息的表示,计算机与二进制数,二进制的运算 二进制与十进制的运算原理一致，只是在二进制运算时，逢二进一，借一当二。 1）二进制加法运算法则 000 011 101 1110 2）二进制减法运算法则 000 101=1(借1当2) 101 110 3）二进制乘法运算法则 000 010 100 111 4）二进制除法运算法则 00（无意义） 010 10（无意义） 111,10011 所以 1001+1010=10011,2.1计算机中信息的表示,计算机与二进制数,二进制的加减运算，可借助于十进制数的加减运算竖式，即在进行两数相加时，首先写出被加数和加数，然后按照由低位到高位的顺序，根据二进制加法运算法则把两个数逐位相加即可。,例2-1：求1001+1010=? 解： 1001 1010,例2-2：求1101010100？ 解： 11010 10100,00110 所以 1101010100110,2.1计算机中信息的表示,计算机与二进制数,例2-3：求100101001=？,100101001=10100010,二进制的移位运算和十进制的移位运算的比较： 十进制中每左移一位相当于乘以10，左移n位相当于乘以10n，同理，二进制中每左移一位相当于乘以2，左移n位相当于乘以2n。 所以二进制乘法可以转换为加法和左移位运算，除法可以转换为减法和右移位运算。,2.1计算机中信息的表示,计算机与二进制数,二进制小数 二进制小数用小数点左边数字表示数值的整数部分，小数点右边的数字表示数值的小数部分。小数点右面的第一位权为2-1，第二位为2-2，后面的依此类推。,对于带小数的加法，十进制中的方法同样适用于二进制，即两个带小数点的二进制数相加，只要将小数点对齐，按照以前同样的步骤进行即可。,例2- 4 100.01+1101.11=? 解： 100.01 + 1101.11,10010.00 所以100.01+1101.11=10010.00 计算机中所有的运算最后都是以加法形式进行的，所以二进制加法是计算机运算的基础。,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1二十进制转换 二进制转换成十进制 二进制只含有0、1两个数字，其计数特点是“逢二进一”。与十进制计数一样，在二进制数中，每一个数字符号(0或1)在不同的位置上具有不同的值，各位上的权值是基数2的若干次幂。 整数转换 (10010)2= 小数转换 (101.11)2=,=(18)10,=(5.75)10,124+023+022+121+020,122+021+120+12-1+12-2,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1二十进制转换 (2) 十进制转换成二进制 十进制整数转换成二进制整数采用“除2取余法”。,具体作法为：将十进制数除以2，得到一个商数和一个余数；再将商数除以2，又得到一个商数和一个余数继续这个过程，直到商数等于零为止。每次得到的余数(必定是0或1)就是对应二进制数的各位数字。 但必须注意:第一次得到的余数为二进制数的最低位，最后一次得到的余数为二进制数的最高位。 例如：将十进制数97转换成二进制数。,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1二十进制转换,例如：将十进制数97转换成二进制数。,48 余数为1，即a0=1,24 余数为0，即a1=0,12 余数为0，即a2=0,2,2,2,6 余数为0，即a3=0,2,3 余数为0，即a4=0,2,1 余数为1，即a5=1,2,0 余数为1，即a6=1 商为0，结束,（97）10=（a6a5a4a3a2a1a0）=（1100001）2,97,2,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1二十进制转换 (2) 十进制转换成二进制 十进制小数转换成二进制小数采用“乘2取整法”。 具体作法为：用2乘十进制小数，得到一个整数部分和一个小数部分；再用2乘小数部分，又得到一个整数部分和一个小数部分继续这个过程，直到余下的小数部分为0或满足精度要求为止。最后将每次得到的整数部分(必定是0或1)从左到右排列即得到所对应的二进制小数。 注意：一个十进制小数不一定能完全准确地转换成二进制 小数，此时可根据精度要求只转换到小数点后某一位为止。 例如： 将十进制小数0.6875转换成二进制小数。,例如： 将十进制小数0.6875转换成二进制小数。,1.3 7 5 0 整数部分为1，即a-1=1,0.3 7 5 0 余下的小数部分,0.7 5 0 0 整数部分为0，即a-2=0,0.7 5 0 0 余下的小数部分,1.5 0 0 0 整数部分为1，即a-3=1,0.5 0 0 0 余下的小数部分,1.0 0 0 0 整数部分为1，即a-4=1,0.0 0 0 0 余下的小数部分为0，结束,（0.6875）10=（0.a-1a-2a-3a-4）2=（0.1011）2, 2, 2, 2,0.6 8 7 5, 2,1二十进制转换 (2) 十进制转换成二进制 为了将一个既有整数部分又有小数部分的十进制数转换为二进制数，可以将其整数部分和小数部分分别转换，然后再组合起来。 例如：将97.6875转换为二进制数,2.1计算机中信息的表示,数制转换,（97）10=（1100001）2,（0.6875）10=（0.1011）2,由此可得：（97.6875）10=（1100001.1011）2,2.1计算机中信息的表示,数制转换,2八十进制的转换 （1）八进制向十进制转换 八进制数中有八个数字符号07，其计数特点是“逢八进一”。与十进制计数一样，在八进制数中，每一个数字符号(07)在不同的位置上具有不同的值，各位上的权值是基数8的若干次幂。 例如：(154)8=182+581+480=(108)10 小数之间的转换原理也一样， 例如： (154.11)8=182+581+480+18-1+18-2=(108.140625)10,2.1计算机中信息的表示,数制转换,2八十进制的转换 (2) 十进制转换成八进制 十进制整数转换成八进制整数采用“除8取余法”。 例如：将十进制整数277转换成八进制整数。 十进制小数转换成八进制小数采用“乘8取整法”。 例如：将十进制小数0.140625转换成八进制小数,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1八进制转换,例如：将十进制整数277转换成八进制整数。,34 余数为5，即a0=5,8,4 余数为2，即a1=2,8,0 余数为4，即a2=4 （商为0结束）,（277）10 =（a2a1a0 ）=（425）8,277,8,2.1计算机中信息的表示,数制转换,1八进制转换,例如：将十进制小数0.140625转换成八进制小数。,0.1 4 0 6 2 5, 8,1.1 2 5 0 0 0 整数部分为1，即a-1=1,0.1 2 5 0 0 0 余下的小数部分, 8,1.0 0 0 0 0 0 整数部分为1，即a-2=1,0.0 0 0 0 0 0 余下的小数部分为0，结束,（0.140625）10=（0.a-1a-2）8=（0. 11）8,2.1计算机中信息的表示,数制转换,2八十进制的转换 (2) 十进制转换成八进制 将一个十进制数转换成八进制数时，需要将指数部分和小数部分分别进行转换。 例如：,（277）10 =（425）8,（0.140625）10=（0. 11）8,可得： （277.140625）10=（425. 11）8,2.1计算机中信息的表示,数制转换,3十六十进制转换 （1）十六进制转换成十进制 十六进制数中有十六个数字符号09以及A、B、C、D、E、F，其计数特点是“逢十六进一”。其中符号A、B、C、D、E、F分别代表十进制数10、11、12、13、14、15。与十进制计数一样，在十六进制数中，每一个数字符号(09以及A、B、C、D、E、F)在不同的位置上具有不同的值，各位上的权值是基数16的若干次幂。例如: (1CB.D8)16=1162+12161+11160+1316-1+816-2,=(459.84375)10,2.1计算机中信息的表示,数制转换,3十六十进制转换 (2) 十进制转换成十六进制 十进制整数转换成十六进制整数采用“除16取余法”。 十进制小数转换成十六进制小数采用“乘16取整法”。 在将一个十进制数转换成十六进制数时，需要将整数部分和小数部分分别进行转换。 例如：十进制数91.75转换成十六进制数,（91.75）10=（a1a0.a-1）16=（5B.C）16,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 (1) 二进制与八进制、十六进制之间有着简单的关系，它们之间的转换是很方便的。由于8和16都是2的整数次幂，即8=23、16=24。因此，三位二进制数相当于一位八进制数，四位二进制数相当于一位十六进制数。 (2) 八进制数转换成二进制数的规律是：每位八进制数用相应的三位二进制数代替。 例如：八进制数(315.27)8转换成二进制数 (3) 十六进制数转换成二进制数的规律是：每位十六进制数用相应的四位二进制数代替。 例如：十六进制数(2BD.C)16转换成二进制数,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 例如：八进制数(315.27)8转换成二进制数 3 1 5 . 2 7,011,001,101,010,111,.,即 （315.27）8=（11001101.010111）2,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 例如：十六进制数(2BD.C)16转换成二进制数 2 B D . C,0010,1011,1101,.,1100,即 （2BD.C）16=（1010111101.1100）2,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 (4) 二进制数转换成八进制数的规律是：从小数点开始，向前每三位一组构成一位八进制数；向后每三位一组构成一位八进制数，当最后一组不够三位时，应在后面添0补足三位。 例如:二进制数(1101001101.01)2转换成八进制数 (5) 二进制数转换成十六进制数的规律是：从小数点开始，向前每四位一组构成一位十六进制数；向后每四位一组构成一位十六进制数，当最后一组不够四位时，应在后面添0补足四位。 例如:二进制数(1101001101.01)2转换成十六进制数,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 例如：二进制数(1101001101.01)2转换成八进制数 1 101 001 101 . 010 1 5 1 5 . 2 即 (1101001101.01)2 =（1515.2）8,2.1计算机中信息的表示,数制转换,4、二进制与八、十六进制之间的转换 例如：二进制数(1101001101.01)2转换成十六进制数 11 0100 1101 . 0100 3 4 D . 4 即 (1101001101.01)2 =（34D.4）16,2.1计算机中信息的表示,5.不同数制数相互转换的进一步讨论 （1）、二进制数转换为十六进制数 二进制数转换为十六进制数在工程中经常使用、也非常简单。 已讲过，4位二进制数可用1位16进制数来代替， 4位二进制数权分别是8、 4 、2、 1，所以这位16进制数就等于这4位二进制数bit值等于1的各位权相加，就是8、 4 、2、 1这四位数中的几个简单相加。十六进制数的位置对应原二进制数的位置。,2.1计算机中信息的表示,例如：一个8位二进制数 1 1 1 1 1 1 1 0 B用2位16进制数表示： 二进制数：1 1 1 1 1 1 1 0 B 4位二进制数权：8 4 2 1 8 4 2 1 16进制数低位=8+4+2=14=0x E； 16进制数高位=8+4+2+1=15=0x F； 1 1 1 1 1 1 1 0 B=0xFE，,2.1计算机中信息的表示,又例如：0 1 1 1 1 0 0 0 B用16进制数表示，低4位bit值等于1的各位权相加=0x 8；高4位bit值等于1的各位权相加4+2+1=0x 7；16进制数等于0x78。 又例如：0 0 1 1 1 1 0 0 B用16进制数表示，低4位bit值等于1的各位权相加8+4=0x C；高4位bit值等于1的各位权相加2+1=0x 3；16进制数等于0x3C。 这种算法对于数值大的数的转换效率高。,2.1计算机中信息的表示,例如32位二进制数转换为8位16进制数： 二进制数：0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 B 权：8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 Bit权相加： 3 C 3 C 3 C 3 D 结果：0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 B=0x3C3C3C3D,2.1计算机中信息的表示,（2）、十进制整数转换为二进制整数 当我们把一个十进制整数转换为二进制整数时，如上节所述可以采用除二取余法。但如果十进制整数比较大，这样做就非常麻烦并容易出错。 简单做法是先将十进制整数转换为十六进制数，然后利用十六进制数和二进制数的简单换算关系，每一位十六进制数用4位二进制数来取代，就可以很快得到结果。,2.1计算机中信息的表示,例如，将十进制数65534转换为二进制数，用除2取余法会很麻烦，现用除十六取余法： 商 余 （1）6553416=4095-E （2）409516=255-F （3）25516=15-F |-F 最后 65534=0xFFFE=1111 1111 1111 1110 B 又例如，将十进制数100转换为二进制数 （1）10016=0x64 （2）每一位十六进制数用4位二进制数来取代，得结果： 0x64=0110 0100 B,2.1计算机中信息的表示,（3）、当我们要将一个二进制数转换为十进制数时，先将4位二进制数用一位16进制数代替，二进制数不够4位，前面加0；然后将此16进制数各位乘权相加即可。 例如，将二进制数1111 1111 1111 1111 B转换为十进制数 （1）1111 1111 1111 1111 B=0x FFFF （2）各位乘权相加1516+1516+1516+1516=65535 又例如，将二进制数1111 1111 1111 1100 B转换为十进制数 （1）1111 1111 1111 1100 B=0x FFFC （2）各位乘权相加1216+1516+1516+1516=65532,2.1计算机中信息的表示,6 、二进制数在计算机中使用 在计算机中，把二进制数的1位叫比特（bit）, 比特（bit）是计算机中数的最小单位，比特（bit）的取值只能是1或0。 当通过接口电路把比特（bit）用于输出时，它可以控制一个外围设备，例如点亮一个发光二极管、接通一个继电器或叫一台电机旋转；用于输入时它可以标志一个开关量的状态，例如温度超限、压力超标、酸碱度过高等。 在工业控制计算机中，专门有“位”（bit）这种数据类型，如果一个变量被定义为bit数据类型，它只能是二进制数的1位，取值只能是1或0。 在这种计算机中，存储单元专门有“位”存储区，在“位”存储区中每个“位”变量都有一个确定的地址，通过该地址可以访问“位”变量。,2.1计算机中信息的表示,在某些特殊功能寄存器中，寄存器中的“位”有专门的名字，通过该名字可以访问特殊功能寄存器中的某些“位”。 “位”虽然能代表一些信息，但信息量太小，所以在计算机中常用“字节”（byte）来代表各种信息或控制数据。 一个字节是由8位二进制数组成，结构如图2-1所示。 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 图2-1 一个字节结构 在图2-1中，D7代表最高位，在字节最左侧，位权是；D0代表最低位，在字节最右側，位权是。一个无符号字节数范围为0255。 用8位二进制数来代表一个字节书写麻烦，容易出错，更多的时候我们是用2位16进制数来代表一个字节。 D7 D6 D5 D4和D3 D2 D1 D0位权分别是8 4 2 1，我们把这种二进制数叫8 4 2 1码。,2.1计算机中信息的表示,在计算机中，还常用二个字节（16bit）来代表各种信息或控制数据。我们称之为“字”（Word），一个“字”结构如图2-2所示 D15 D14 D13 D12 D11 D10 D9 D8 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 图2-2 一个字结构 在图2-2中，D15代表最高位，在字节最左侧，位权是；D0代表最低位，在字节最右側，位权是。一个无符号“字”的数范围为065535。 一个“字”（Word）常用4位16进制数表示。,2.1计算机中信息的表示,2、十进制整数转换为二进制整数 当我们把一个十进制整数转换为二进制整数时，如上节所述可以采用除二取余法。但如果十进制整数比较大，这样做就非常麻烦并容易出错。 简单做法是先将十进制整数转换为十六进制数，然后利用十六进制数和二进制数的简单换算关系，每一位十六进制数用4位二进制数来取代，就可以很快得到结果。,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,1、什么是BCD码 当我们通过键盘向计算机输入一个数时，是按十进制数输入的。例如我们输入1024（一千零二十四），但计算机只能进行二进制运算和存储，所以计算机是这样存储： 00000001 00000000 00000010 00000100 B 上面的四个字节二进制数，既不是二进制的1024（0100 0000 0000 B），也不是十进制的1024，而是用二进制表示的十进制数，即用一个字节二进制数表示一位十进制数并按权排列。 我们把用二进制数表示的十进制数叫BCD码。,把BCD码转换为二进制数的过程就是数控技术中著名的“十翻二”运算。 当运算结束，要输出运算结果时，我们还要把二进制数转换成BCD码，然后输出。 就是说，计算机内部的运算是按二进制来进行的，但输入输出是使用BCD码。 一个十进制数字最大为9，用4位2二进制数表示就可满足要求。上面用一个字节二进制数表示一位十进制数，浪费很多内存，所以实际上是用一个字节二进制数表示二位十进制数。这种BCD码叫压缩的BCD码，也叫组合的BCD码。上面非组合的BCD码写成压缩的BCD码就是：00010000 00100100 B,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,2、“十翻二”运算 当我们通过键盘向计算机输入一个十进制数2345（二千三百四十五），首先输入2，然后输入3，系统求和210+3；然后输入4，求和（210+3）10+4；最后输入5，系统将求和（210+3）10+4 ）10+5；最后得2345。 就是说每输入一个新数，将原来的累加和乘10加上这个新数，然后将这个值做为新的累加和，进行下面的输入，直到输入结束。 上面的运算过程中，有许多乘10运算，计算机将乘10运算分解为乘8+乘2；一个数乘8就是该数左移3位；乘2就是该数左移1位。 移位运算是计算机执行速度最快的指令，通过简单的移位和相加完成“十翻二”运算。,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,2、二进制的逻辑运算 （1）两个bit（1位二进制数）型二进制数的逻辑运算 bit型二进制数的逻辑运算包括“或”运算、“与”运算、和“非”运算三种。 我们用“|”表示“或”运算；用“&”表示“与”运算；用“”表示“非”运算。 “或”运算规则： 0|0=0 0|1=1 1|0=1 1|1=1 “与”运算规则： 0&0=0 0&1=0 1&0=0 1&1=1 “非”运算规则： 0=1 1=0,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,（2）两个byte（字节，8位二进制数）型二进制数的逻辑运算 在这种运算中，byte型二进制数只有两种状态，不管它本身值是多少，只要是不等于0，我们就认为它是“非”0的，逻辑值就等于1。否则逻辑值就等于0。而且两个字节逻辑运算的结果只能是0或1。 两个字节型二进制数之间的逻辑运算也有三种：逻辑“或”运算“|”；逻辑“与”运算“ !A=0。,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,3、字节型二进制数还有按“位”逻辑运算关系，即字节相应位分别进行逻辑运算，结果是另一个字节型二进制数，不修改原数。按“位”逻辑运算关系有： 按位与： & 按位或： | 按位取反： 按位异或： 按位左移n位：n 按“位”逻辑运算关系是在控制系统中使用最多的逻辑运算。 按位左、右移n位时超出字节范围的数被丢弃，形成的空位填0。左移一位相当该数2；右移一位相当该数2。,2.2 BCD码和二进制数的逻辑运算,设a=0x54=01010100b，b=0x3b=00111011b，则有： a&b=00010000B=0x10 a|b=01111111