预备知识：随机信号分析.ppt

预备知识 （二）,随机信号分析 通信原理第三讲,预备知识（一）：小结,了解通信研究的三大问题：带宽利用率、信噪比性能、实现复杂度 复习信号与系统的主要内容，掌握时间-频率域变换的数学方法和物理概念 熟悉振幅谱、相位谱、能量谱、功率谱的定义与概念,通信系统模型：实例,信息源,发送设备,信道,接收设备,受信者,噪声源,发送端,接收端,通信系统模型：实例,发送端,信道,接收端,噪声源,1 1 0 0 1 0,C？,通信系统模型：实例,非常宽的带宽,较宽带宽,较窄带宽,很窄带宽,通信系统模型：实例,无噪声SNR=100dB,较小噪声SNR=30dB,中等噪声SNR=15dB,较大噪声SNR=6dB,继续研究实例,不同信号的FFT 谱,继续研究实例,噪声波形,讨论问题：对待噪声怎么办？(1),噪声波形,讨论问题：对待噪声怎么办？(2),噪声波形,讨论问题：对待噪声怎么办？(3),信号和噪声,讨论问题：对待噪声怎么办？(4),噪声波形,讨论问题：对待噪声怎么办？(5),噪声波形,继续研究实例,通过通信系统传递的信号，主要是随机信号，干扰噪声也是随机的。 对某类确定信号有效的处理方法，并不一定能直接应用到随机信号处理上去。 研究随机信号统计特性采用的主要数学工具是随机过程方法。,2.3 随机信号分析,2.3 随机信号分析 随机过程基础 高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声,随机过程基础:定义,随机过程定义： 设已给定概率空间（，F，P）及一参数集T（R），若对每一个t（T），均有定义在（，F，P）上的一个随机变量X（ ，t） （ ）与之对应，则称依赖于参数t的随机变量族X（ ，t）为一随机过程。 在实际问题中，t代表时间量 随机过程是某些参数（通常是时间）的实函数序列，通常具有统计特性。,随机过程基础：定义,：全体可能组成的集合 F ：全体可观测事件组成的事件族 P：是一个在整体，而不是单个概率值，P是F上定义的一个取值于0，1区间的函数。,随机过程基础：定义,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),t,t,t,样本空间,S,1,S,2,S,n,x,(,t,),t,k,随机过程基础：定义,它是时间的函数 在任一时刻tk上观察到的值却是不确定的,是一个随机变量x(tk)。,随机过程基础：统计特性, 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1, t1)， 即F1(x1,t1)=P(t1)x1 称为随机过程(t)的一维分布函数。,随机过程基础：统计特性,如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有,则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数,随机过程基础：统计特性, 随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入多维分布函数。 同理，任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn,对比与思考,随机过程基础：数字特征,数学期望 方差 相关函数,两时刻所得随机变量的统计相关性,随机过程基础：数字特征,协方差 互协方差与互相关函数,相关函数,随机过程基础：数字特征,随机过程 （噪声、信号）,数学期望,方差,统计、观测、计算,得到：某时刻的平均值、某时刻偏离平均值的程度、两时刻间的相关程度。,随机过程基础：平稳性,随机过程基础：平稳性,狭义平稳随机过程 任何N维概率密度函数与时间起点无关,随机过程基础：平稳性,广义平稳过程（弱平稳、宽平稳过程） 数学期望 a（t）为常数 相关函数 R(t1, t1+)=R() 严格平稳过程在一定条件下（均方值有界）必然是广义平稳、但广义平稳不一定是严平稳过程。,随机过程基础：各态历经性,随机过程基础：各态历经性,假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,随机过程基础：各态历经性,如果平稳随机过程依概率1使下式成立，则称该平稳随机过程具有各态历经性. 物理意义： 从随机过程得到任一实现，好像经历了随机过程的所有可能状态。 只须作一次考察，作时间平均，无需作无限多次考察，作统计平均。,随机过程基础：各态历经性,注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。确定随机过程是否是各态历经通常很困难。但实际上，可以通过直觉来判断时间平均和集总平均可不可以互换。在分析没有暂态效应的大多数通信信号时，可以假设随机波形的均值和自相关函数是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。,相关函数 R（t ，t+）,随机过程基础：数字特征,随机过程(t)（噪声、信号）,数学期望 E(t),方差 D(t),统计、观测、计算,如果平稳,与时间起点无关,E(t)=a,D(t)=2,R（）,如果各态历经,用时间平均代替集平均,随机过程基础：例题,求随机相位正弦波(t)=sin(ot+)的均值与自相关函数，式中ot是常数；是在区间（0，2）上均匀分布的随机变量，该随机过程是否是平稳随机过程，是否具有各态历经性？,随机过程基础：例题,因此，该随机过程是广义平稳随机过程,随机过程基础：例题,因此，该随机过程具有各态历经性,随机过程基础：各态历经性,随机过程（信号）具有各态历经性时：,直流分量： 归一化直流功率： 归一化交流平均功率： 归一化全部平均功率：,随机过程基础：相关函数性质,相关函数：,性质：,归一化平均功率,归一化平均直流功率,这里利用了当时， (t)与(t+)没有依赖关系， 即统计独立， 且认为(t)中不含周期分量。 ,归一化平均交流功率,随机过程基础：相关函数性质,相关函数：,性质：,偶函数,相关函数的上界,思考：相关是一个广泛的概念，不仅可以用于随机信号，也可以用于确知信号，对于确知信号，可以认为是某一样本以概率为1出现的“特殊”的随机过程，此时，样本统计已经没有意义，同时，该随机过程也非平稳随机过程。因此，对于确知信号，相关函数是指时间上的统计平均,随机过程基础：相关函数性质,随机信号的平均值、偏离平均值的程度（方差）归一化的直流交流功率，统计相关程度，都已经清晰的描述。 对于通信：,还差什么？,频率特性！,随机过程基础：相关函数性质,维纳-欣钦（Wiener-khintchine）定理,若随机过程是广义平稳的，可用自相关函数的傅立叶变换得到其功率谱密度,随机过程基础：相关函数性质,维纳-欣钦（Wiener-khintchine）定理,对于非平稳过程，用时间平均的代替R（）该定理同样成立,相关函数 R（t ，t+）,随机过程基础：数字特征,随机过程(t)（噪声、信号）,数学期望 E(t),方差 D(t),统计、观测、计算,如果平稳,与时间起点无关,E(t)=m,D(t)=2,R（）,如果各态历经,用时间平均代替集平均,随机过程基础：例题,求随机相位正弦波(t)=sin(ot+)的均值与自相关函数，式中ot是常数；是在区间（0，2）上均匀分布的随机变量，该随机过程是否是平稳随机过程，是否具有各态历经性？求其功率谱密度,随机信