向量的内积、长度及正交性(1).ppt

第一节 向量的内积、长度及正交性,相似矩阵及二次型,一、向量的内积及其性质,二、正交向量组、规范正交基,三、正交矩阵、正交变换,四、小结 思考题,返回,上页,下页,一、向量的内积,1. 向量的内积,n 维向量的内积是 几何向量内积(也称为点积、点乘、数量积、标量积)的推广.,(即，对应分量的乘积之和),返回,上页,下页,说明,则，内积可用矩阵记号表示为,(1) 当 和 都为列向量时(一般做法)，,返回,上页,下页,(2) 若已知 是行向量， 为列向量，则内积应为,上页,下页,2. 向量的长度,(2) 任意非零向量 ，可通过长度进行单位化，,是单位向量.,即，,返回,返回,上页,下页,例 1 已知,解,计算两个向量单位化后的内积.,返回,上页,下页,证 参见 .,定理 1 向量的内积满足,即,(称为Cauchy-Schwarz不等式),向量长度的性质：,性质显然成立，性质的证明参见 .,附录 1,附录 2,根据定义，如果非零向量 , 的内积 ，则夹角 = 90o ；反之亦然.,返回,上页,下页,3. 向量的夹角,定义 3 规定 n 维向量 和 的夹角为,定理 2 非零向量 , 正交(或垂直)的充要条件是,说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也可以说零向量与任何向量正交.,返回,上页,下页,对于齐次线性方程组 Amn x=O，即,Ax=O 的每个解向量都和矩阵 A 的每个行向量正交.,因此，Ax=O 的解集(即解空间)就是与 A 的行向量都正交的全部向量的集合.,这是Ax=O 的解空间的一个基本性质.,返回,上页,下页,例 2 已知 R3 中的两个向量 正交，,求一个非零向量 3，使得1, 2, 3 两两正交.,分析,以 作为行向量构成矩阵 ，,则 Ax=O 的解和 正交 (亦和 1, 2 正交).,返回,上页,下页,令,建立齐次线性方程组 Ax=O，,解方程组(过程略)，可得基础解系,解,即,返回,上页,下页,二、正交向量组、规范正交基,设 是非零正交向量组，,1. 正交向量组,返回,上页,下页,设 (*),对(*) 式两端同时左乘 ，得,由于各向量两两正交，故,其中 ，因此，必有 .,返回,上页,下页,2. 规范正交基,例如， 是 R2 的一个规范正交基.,一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，,即,设 是向量空间 V 的一组规范正交基，,返回,上页,下页,证,则向量 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为,基,坐标向量,返回,上页,下页,3. 施密特(Schimidt)正交化方法,施密特正交化方法：,返回,上页,下页,施密特正交化方法的基本步骤和思路：,设 是一组线性无关的非零向量., 取,求 ，使得 ，即 2 和 1正交.,得,返回,上页,下页, 取,令 ， ，可得,于是,返回,上页,下页, 不断重复以上步骤，直到最后有,通过的正交化步骤，得到正交向量组：,(作为练习，证明 都是非零向量),最后，再将 单位化为 ，,返回,上页,下页,施密特正交化步骤 小结 ：,首先将线性无关的非零向量组 正交化：,令,返回,上页,下页,再将得到的正交向量组 单位化：,这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后,可能不再是单位向量.,(2) 向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这称为：对基进行规范正交化.,返回,上页,下页,例 3,解,用施密特正交化方法将这组基规范正交化.,设 R3 的一组基为,取,首先将 正交化：,返回,上页,下页,再把 单位化，,返回,上页,下页,例 4 已知,解,令矩阵 ，,( 的解与 A 的行向量 正交，亦即与 正交),求两个向量，与 共同构成非零正交向量组.,返回,上页,下页,1, 2 线性无关，且都与 正交.,再将1, 2 正交化：,取,于是， 是一个非零正交向量组.,解 Ax=O，得基础解系,三、正交矩阵、正交变换,返回,上页,下页,1. 正交矩阵,定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵.,返回,上页,下页,按列分块为,设 ，,证,定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量组是正交单位向量组.,返回,上页,下页,说明,Rn 的规范正交基是“(含 n 个 n 维向量的)正交单位向量组”.,返回,上页,下页,A 的列向量都是单位向量，且两两正交，,例 4 验证,是正交矩阵.,解,故 A 是正交矩阵.,返回,上页,下页,2. 正交变换,即 ,记作 y=Ax.,返回,上页,下页,定义 6,若 A 为正交矩阵，则线性变换 y=Ax 称为正交变换.,即,返回,上页,下页,证,设A为正交矩阵，,由前两式，立即有,(向量间的夹角不变),(向量的内积不变),(向量的长度不变),返回,上页,下页,2. 下列条件等价: (1) A 为 n 阶正交矩阵；,四、小结,1. 施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组.,利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范正交化.,A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组；,A 的列向量组(或行向量组)是 Rn 的规范正交基.,(注意正确顺序是先正交化、再单位化),返回,上页,下页,已知行向量,思考题,求：与 正交的一个单位行向量.,返回,上页,下页,思考题解答,用行向量构成矩阵,由于Ax=O 的解向量 x (列向量)与 正交.,故，x 的转置xT 亦与 正交.,解齐次线性方程组Ax=O，得基础解系,于是， 与 正交.,再将 单位化，,返回,上页,下页,为方便计算，令,则，,就是与 正交的单位行向量.,返回,上页,下页,Cauchy-Schwarz不等式,证,附录 1,(1) 当 =O 时，,Cauchy-Schwarz不等式显然成立.,(2) 当 O 时，,根据内积的运算性质，有,