《复数与复变函数》PPT课件.ppt

第一章 复数与复变函数,第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点,第一节 复数,1 复数域 形如 的数，称为复数。其中实数 和 分别称为复数的实部和虚部，常记为 全体复数并引进四则运算后称为复数域,加（减）法 乘法 除法,相等： 当且仅当 共轭复数：,2 复平面 一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点 ，这样表示复数的平面称为复平面或 平面。其中 轴称为实轴， 轴称为虚轴。,3 复数的模,向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：,模的性质,（1） （2） （3） （4）点 与点 的距离为,4 复数的辐角,实轴正向到非零复数 所对应的向量 间的夹角 满足 称为复数 的辐角，记为：,任一非零复数有穷多个辐角。 以 表其中的一个特定值，并称合条件 的一个为 的主值，或称之为 的主辐角。有下述关系：,5 复数的表示,代数形式： 三角形式： 指数形式：,6 复数的乘幂与方根,第一章 第一节 例题及习题,第二节 复平面上的点集,1.2.1 复平面点集的几个基本概念,1.2.2 区域与约当(Jordan)曲线,1.2.3 典型例题,1.2.4 小结与思考,1.2.1 复平面点集的几个基本概念,定义1.1 邻域:,记作:N(z0),N(z0)=z | |z-z0|,记作：N0(z0)=z | 0|z-z0|,定义1.2 聚点、外点、孤立点,如果z0属于E ，但不是E 的聚点，则称z0为E的孤立点.,如果z0不属于E ，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.,z0为E的孤立点0: N(z0)E=z0,z0为E的外点0: N(z0)E=,定义1.3 内点:,如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0: N(z0)E,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：E,定义1.4 有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,定义1.5 区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,1.2.2 区域与Jordan曲线,D加上D的边界称为闭域。记为DD+D,z1 ,z2 ,D,说明,(2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1) 区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)无界.,定义1.7 连续曲线:,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,C的正向：起点终点,o,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).,重点,重点,重点,换句话说, 简单曲线自身不相交.,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C) ，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C) 的公共边界.,2. 光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答 案,简单 闭,简单 不闭,不简单 闭,不简单 不闭,4. 单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,单连通域,多连通域,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,有界的单连通域.,例2,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,是多连通域.,不是区域.,单连通域.,四、小结与思考,应理解区域的有关概念:,邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域,理解单连通域与多连通域.,放映结束，按Esc退出.,第三节 复变函数,1.3.2 复变函数的概念,1.3.2 复变函数的极限与连续,1.3.3 小结与思考,1.3.1 复变函数的定义,1.复变函数的定义:,2.单(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,4. 复变函数与自变量之间的关系:,例如,若令z=rei ,则 w=f(z)=u(r,)+i v(r, ),1.3.2、复变函数的极限与连续,1.函数极限的定义:,注意:,一.函数极限:,2. 极限计算的性质,定理1.2,证,根据极限的定义,(1) 必要性.,(2) 充分性.,证毕,说明,定理,与实变函数的极限性质类似.,惟一性,复合运算等,二、函数的连续性,1. 连续的定义:,连续的 三要素:,（1） f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,2. 连续函数的性质,定理1.3,例如,例1.26,试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续,证1：,证2：,3.有界闭集上连续函数的性质,定理1.7 设E是有界闭集，f(z)C(E),则有： （1） f(z)在E上有界： M0 zE |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在E上一致连续.即 0, 0 当z1, z2E且|z1- z2| 有|f(z1)-f(z2)|,Department of Mathematics,1 复球面 2 扩充复球面上的几个概念,第四节 复球面与无穷远点,一、复球面,1. 南极、北极的定义,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,我们规定: 复数中有一 个唯一的“无穷大” 与复平面上的无穷 远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N就是复数无穷大 的几何表示.,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,3 无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：