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文档简介

,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的微分法,第八章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不一定成立.,推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,求全导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 : 在这里，函数 z 是通过三元函数 z = f (u,v,t) 而成为 t 的一元复合函数.因此，z 对 t 的导数又称为z 对 t 的全导数.,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元复合函数的全微分,这性质叫做全微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论 u，v是自变量还是中间变量，函数z = f(u,v)的全微分的形式是一样的.即,例 6.,利用全微分形式不变性,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,求,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,例如,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课外作业:,P176. 2，3（1），（2），5 。,思考与练习,解答提示:,题1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题 3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束
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