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,2,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,3,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积 分上的应用,辐角原理,路西原理,4,1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,5,i) 可去奇点,6,ii) 极点,7,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,8,iii)本性奇点,9,3)函数的零点与极点的关系,10,2. 留数,11,12,如果 为 的一级极点, 那末,a),2)留数的计算方法,13,14,3)无穷远点的留数,15,定理,16,3. 留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积分,正方向绕行一周.,17,18,2）无穷积分,19,3）混合型无穷积分,20,特别地,21,4.对数留数,22,辐角原理,路西定理,23,三、典型例题,解,24,解,25,26,例2 求函数 的奇点，并确 定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,27,例3 证明 是 的六级极点.,证,28,例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,29,解,30,解,为奇点,当 时 为一级极点，,31,32,解,的一级极点为,33,例5 计算积分,为一级极点， 为七级极点.,解,34,由留数定理得,35,例6,解,在 内,36,37,解,例7 计算,38,39,例8 计算,解,令,40,极点为：,41,例9 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,42,43,例
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