高等数学复旦大学版黄立宏修订版习题二答案详解.pdf

30 高等数学上高等数学上（修订版修订版）黄立宏黄立宏 习题二答案习题二答案 详解详解 1 设 2 1 2 sgt=，求 2 d d t s t = . 解： d d s gt t =，故 2 d 2 d t s g t = =. 2(1) 设 1 ( )f x x =，求 00 ()(0);fxx 解： 0 0 0 2 1 ()( ). x x fxfx x = = - (2) 设( )(1)(2)(),f xx xxxn=-L求(0). f 解： 00 ( )(0) (0)limlim(1)(2)() 0 ( 1)! xx n f xf fxxxn x n - =- - = - L 3. 试求过点(3，8)且与曲线 2 yx=相切的直线方程. 解： 曲线上任意一点( , )x y处的切线斜率为2kx=.因此过(3， 8)且与曲线相切的直线方程为： 82 (3)yx x-=-，且与曲线的交点可由方程组解得 2 82 (3)yx x yx -=- = 为(2，4)，(4，16)即为切点. 故切线方程为：44(2),168(4).yxyx-=-=- 4下列各题中均假定 0 ()fx存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么. (1) 00 0 ()() lim; x f xxf x A x D -D- = D 解： 0000 0 00 ()()()() limlim() xx f xxf xf xxf x fx xx D D -D-D- = -= - D-D Q 故 0 ()Afx= - (2) 0 0 0 ( ) ()0,lim; xx f x f xA xx = - 31 解： 00 0 00 ( )( ) limlim() xxxx f xf x fx xxxx = -= - - 故 0 ()Afx= - (3) 00 0 ()() lim. h f xhf xh A h +- = 解： 000000 00 0000 00 000 ()()()()()() limlim ()()()() limlim ()()2() hh hh f xhf xhf xhf xf xhf x hhh f xhf xf xhf x hh fxfxfx +-+- =- +- =+ - =+= 故 0 2().Afx= 5求下列函数的导数: (1) yx=; 解： 1 2 y x = (2) 32 1 y x =; 解： 5 3 2 3 yx - = - (3) 322 5 xx y x =; 解： 2 51 2 3 26 yxx + - = 5 6 1 . 6 yx - = 6讨论函数 3 yx=在0x =点处的连续性和可导性. 解： 3 0 lim0(0) x xf =,故函数在0x =处连续. 又 2 3 3 00 0 limlim 0 xx x x x - - = - ,故函数在0x =处不可导. 7. 如果( )f x为偶函数，且(0) f 存在，证明：(0)0. f = 32 证明： 00 0 ()(0)()(0) (0)limlim ()(0) lim(0), xx x fxffxf f xx fxf f x D D D D-D- = DD -D- = -= - -D 故(0)0. f = 8求下列函数在 0 x处的左、右导数，从而证明函数在 0 x处不可导. (1) 0 3 sin ,0, 0; ,0, xx yx xx = 时，( )1,fx= 当0x =时， 0 sin0 (0)lim1, 0 x x f x - - - = - 0 0 (0)lim1, 0 x x f x + + - = - 故(0)1. f = 综上所述知 cos ,0, ( ) 1,0. xx fx x 为了使函数( )f x在1x =点处连续且可导，, a b应取什么值？ 解：因 2 11 lim( )lim1(1) xx f xxf - = = 11 lim( )lim() xx f xaxbab + =+=+ 要使( )f x在1x =处连续，则有1,ab+= 又 2 11 ( )(1)1 (1)limlim2, 11 xx f xfx f xx - - - = - 11 1 (1)limlim, 11 xx axbaxa fa xx + + +- = - 要使( )f x在1x =处可导，则必须(1)(1)ff -+ =， 即2.a =故当2,1ab= -时，( )f x在1x =处连续且可导. 11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin,0;yx x= 解：因为 0, 0 lim0 x x yy = =所以此函数在0x =处连续. 又 00 ( )(0)sin (0)limlim1, 0 xx f xfx f xx - - - = - - 00 ( )(0)sin (0)limlim1, 0 xx f xfx f xx + + - = - (0)(0)ff -+ ，故此函数在0x =处不可导. 34 (2) 2 1 sin,0, 0; 0, 0, xx yxx x = = 解：因为 2 0 1 limsin0(0), x xy x =故函数在0x =处连续. 又 2 00 1 sin ( )(0) (0)limlim0 0 xx x f xf x y xx - = - , 故函数在0x =处可导. (3) ,1, 1. 2,1, xx yx x x = - 解：因为 11 11 lim( )lim(2)1 lim( )lim1 xx xx f xx f xx + - =-= = 11 lim( )lim( )(1)1 xx f xf xf +- =,故函数在 x=1 处连续. 又 11 ( )(1)1 (1)limlim1 11 xx f xfx f xx - - - = - 11 ( )(1)21 (1)limlim1 11 xx f xfx f xx + + - = - - (1)(1)ff -+ ，故函数在 x=1 处不可导. 12. 证明：双曲线 2 xya=上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 2a. 证明：在双曲线上任取一点 00 (,),M xy 则 222 0 22 0 , , x aaa yyy xxx = = -= -， 则过M点的切线方程为： 2 00 2 0 () a yyxx x -= - 令 22 000 000 22 02 x yx a yxxxx aa =+=+= 得切线与 x 轴的交点为 0 (2,0)x， 令 2 00 000 00 02 x ya xyyyy xx =+=+= 得切线与 y 轴的交点为 0 (0,2)y， 35 故 2 0000 1 2222. 2 Sxyx ya= V 13. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为： 2 1 ( )10(m), 2 h ttgt=-求： 物体从 t=1(s)到 t=1.2(s)的平均速度： 解： 1 11 121.44 10 (1.2)(1) 22 0.78 (m s ) 1.2 10.2 gg hh v - -+ - = - - 速度函数 v(t)； 解：( )( )10v th tgt=-. 物体何时到达最高. 解：令( )100h tgt=-=,得 10 (s)t g =, 即物体到达最高点的时刻为 10 s.t g = 14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度q，从而转角q是 t 的函数：( ) tqq=. 如果旋转是匀速的，那么称 t q w=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确 定该物体在时刻 0 t的角速度？ 解：设此角速度值为w,则 00 0 0 ()( ) lim( ) t ttt t t qq wq D +D- = D . 15. 设( )QQ T=表示重 1 单位的金属从0 C 加热到CT所吸收的热量，当金属从CT升 温到() CTT+D时，所需热量为()( ),QQ TTQ TD=+D-QD与TD之比称为T到 TT+D的平均比热，试解答如下问题： 如何定义在CT 时，金属的比热； 解： 0 ()( ) lim( ) T Q TTQ T Q T T n D +D- = D 当 2 ( )Q TaTbT=+(其中 a, b 均为常数)时，求比热. 解：( )2Q TabTn=+. 16. 已知( )f x在 0 xx=点可导，证明： 00 0 0 ()() lim()() h f xhf xh fx h ab ab +- =+. 36 证明： 00 0 ()() lim h f xhf xh h ab +- 0000 00 ()()()() limlim hh f xahf xf xhf x hh b ab ab +- =+ - 00 0 ()() ()(). fxfx fx ab ab =+ =+ 17. 求下列函数的导数： 3lnsin 7 St=+; 解： 3 S t = lnyxx=; 解： 111 ln(ln2) 22 yxxx xxx = +=+ 2 (1) sin(1 sin )yxxx=-; 解： 22 222 2 sin (1 sin )(1)cos (1 sin )(1)sin ( cos ) 2 sin2 sincoscossin2sin2 yxxxxxxxxx xxxxxxxxxx = -+-+- =-+-+ 1 sin 1 cos x y x - = - ; 解： 22 cos (1 cos )(1 sin )sin1 sincos (1 cos )(1 cos ) xxxxxx y xx - = = - taneyx=+; 解： 2 secyx = sec 3sec x yx x =-; 解： 2 sec tansec 3sec tan xxxx yxx x - = - 2 ln2lg3logyxxx=-+; 解： 111123 23(1) ln10ln2ln101 2 y xxxxn = -+ =-+ 2 1 1 y xx = + . 37 解： 22 (12 ) (1) x y xx -+ = + 18. 求下列函数在给定点处的导数： 1 sincos , 2 yxxx=+求 4 d d x y x = ； 解： 11 sincossinsincos 22 yxxxxxxx = +-=+ 4 12 sincos(1) 244442 x y = =+=+ 2 3 ( ), 55 x f x x =+ - 求(0) f 和(2) f ； 解： 2 32 ( ) (5)5 fxx x =+ - 317 (0) (2) 2515 ff= 2 54, 1, ( ) 43 , 1, xx f x xxx - = - 求(1) f . 解： 2 11 ( )(1)431 (1)limlim5 11 xx f xfxx f xx + + - = - 11 ( )(1)54 1 (1)limlim5 11 xx f xfx f xx - - - = - 故(1)5. f = 19. 设 12 ( )( )( )( )0 n p xf x fxfx=L，且所有的函数都可导，证明： 12 12 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) n n fxfxfxp x p xf xfxfx =+L 证明： 121212 12 12 ( )1 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) . ( )( )( ) nnn n n p x fx fxfxf x fxfxf x fxfx p xp x fxfxfx f xfxfx =+ =+ LLLL L 20. 求下列函数的导数： 3 e x y =; 2 arctanyx=; 38 2 +1 e x y =; 22 (1) ln(1)yxxx=+; 2 2 1 sinyx x =； 23 cosyax=（a 为常数） ； 1 arccosy x =； 2 (arcsin) 2 x y =； 2 1 lnyx=+; sincos n yxnx=； 11 11 xx y xx +- = +- ; 1 arcsin 1 x y x - = + ； lncosarctan(sinh )yx=； 2 22 arcsin (0 22 xax yaxa a =-+为常数）. 解： 3 3e x y =; 4 2 1 x y x = + ; 2 +12 +1 11 e2e 2 2121 xx y xx = = + ; 22 22 12 2ln(1)(1)(1) 12 1 x yxxxx xxx = + + 22 2 ln(1)1xxxx=+; 2 223 112 2 sincos()yxx xxx = + - 22 121 2 sincosx xxx =-； 332 2cos( sin) 3yaxaxax = - 23 3sin2axax= -； 2 2 11 () 1 1 ( ) y x x = - - 22 1 x xx = - ； 2 11 2arcsin 22 1 ( ) 2 x y x = - 2 2arcsin 2 4 x x = - ； 39 22 11ln 2ln 2 1ln1 ln x yx x xxx = = + ; 11 sincos cossin( sin)sincos(1) nnn ynxxnxxnxnnxnx - = +-=+； 2 22 1111 ()( 11)( 11)() 2 12 12 12 1 ( 11) 1 ; 11 xxxx xxxx y xx xx - +-+-+ +-+- = +- = -+ - 2 11(1)(1)1 ; (1)11(1) 2 (1) 12 11 xx y xxxxxx xx -+- = = - +-+- - + 2 11 sinarctan(sinh )coshtanh cosarctan(sinh )1 (sinh ) yxxx xx = -= - + ； 2 2222 22 2 1111 ( 2 ) 222 2 1 ( ) xa yaxxax ax ax a = -+ -+=- - - . 21. 36 arccos2, 3 xx y x - =-求 3x y = . 解： 2 2 111(6) 2 336 1 ()2 3 xx y xxx x - - = - - - - 3 1 3 x y = = 22. 试求曲线 3 e1 x yx - =+在点（0，1）及点（1，0）处的切线方程和法线方程. 解： 2 3 3 1 e1e(1) 3 xx yxx - - = - + + 01 2 . 3 xx yy =- = -= 故在点（0，1）处的切线方程为： 2 1(0) 3 yx- = -，即2330xy+-= 法线方程为： 2 1(0) 3 yx- =-，即3220xy-+= 40 在点（1，0）处的切线方程为：1x = - 法线方程为：0y = 23. 设( )f x可导，求下列函数 y 的导数 d d y x ： 2 ()yf x= 解： 2 2()yxfx= 22 (sin)(cos)yfxfx=+ 解： 22 2sin cos(sin)2cos ( sin )(cos)yxxfxxx fx=+- 22 sin2 (sin)(cos)x fxfx=- 24. 求下列隐函数的导数： 33 30xyaxy+-=； ln()xyxy=； ee10 yx xy-=； 22 ln()2arctan y xy x +=； ex yxy + = 解： 两边求导，得： 22 33330xyyayaxy+-= 解得 2 2 ayx y yax - = - . 两边求导，得： 1 1ln()()yxyyyxy xy =+ 解得 (lnln1) xy y xxy - = + . 两边求导，得： eeee0 yyxx xyyy+= 解得 ee = ee yx yx y y x + - + . 两边求导，得： 41 222 2 11 (22)2 1( ) y xy xyy y xyx x - += + + 解得 = xy y xy + - . 两边求导，得： e(1) x y yxyy + +=+ 解得 e = e x y x y y y x + + - - . 25. 用对数求导法求下列函数的导数： 4 5 2 (3) ; (1) xx y x +- = + 解： 1 (ln ) ln(2)4ln(3)5ln(1) 2 yyyyxxx=+-+ 4 5 2 (3)145 (1)2(2)31 xx xxxx +- =- +-+ cos (sin ); x yx= 解： 2 cos (ln )(cos lnsin ) 1 ( sin )lnsincoscos sin cos (sin )(sin lnsin ) sin x yyyyxx yxxxx x x xxx x = =-+ =- 2 e (3) . (5)(4) x x y xx + = +- 解： 2 11 (ln )2ln(3)ln(5)ln(4) 22 e (3)111 2. 32(5)2(4)(5)(4) x yyyyxxxx x xxxxx =+-+- + =+- +-+- 26. 求下列参数方程所确定的函数的导数 d d y x ： cossin, sincos, xabtbat yabtbat =+ =- (a,b 为常数) 42 解： d dcossin d d dsincos d cossin cossin y yabbtabat t x xabbtabat t btat atbt + = -+ + = - (1 sin ), cos . x y qq qq =- = 解： d dcossincossin d d d1 sin( cos )1 sincos d y y x x qqqqqq q qqqqqq q - = -+- 27. 已知 e sin , e cos , t t xt yt = = 求当 3 t =时 d d y x 的值. 解： d de cose sincossin d d de sine cossincos d tt tt y ytttt t x xtttt t - = + 3 cossin d 33 32 d sincos 33 t y x = - =- + . 28. 设( )( )f xxaxj=-,其中 a 为常数，( )xj为连续函数，讨论( )f x在xa=处的可导 性. 解： ( )( )() ( ) ( )limlim( ) ( )( )() ( ) ( )limlim( ) xaxa xaxa f xf axax faa xaxa f xf aaxx faa xaxa j j j j + - + - - = - - = - - . 故当( )0aj=时，( )f x在xa=处可导，且( )0fa= 当( )0aj时，( )f x在xa=处不可导. 29. 已知 2 ( )max,3f xx=，求( )fx. 43 解： 2 3, 3 ( ) , 3 x f x xx = 当3 x 时，( )2fxx=, 2 33 3 3 (3)limlim (3)2 3 3 33 (3)lim0, 3 xx x x fx x f x - + - - + - - -=-= - + - -= + 故(3)f -不存在. 又 3 2 33 33 ( 3)lim0, 3 3 ( 3)limlim (3)2 3, 3 x xx f x x fx x - + - + - = - - =+= - 故( 3) f 不存在. 综上所述知 0, 3 ( ) 2 , 3 x fx xx . 30. 若 1 1 ( )e x x f x + =，求( )fx. 解：令 1 t x =，则 1 ( )e t t f t + =,即 1 ( )e x x f x + = 1 2 1 ( )e(1) x x fx x + =-. 31. 若 1 ( )1,(arccos) 3 fyf x =，求 2 d d x y x = . 解： 2 2 2 d111 (arccos)() () d1 1 ( ) d4 1121 ( ). d33 4432 3 x y f xxx x y f x = =- - - = 44 32. 求函数 11 ln 21 x y x + = - 的反函数( )xyj=的导数. 解： 2 1 ln(1)ln(1) 2 d1111 () d2 111 yxx y xxxx =+- =+= +- 故反函数的导数为： 2 d1 1 d d d x x y y x = -. 33. 已知( )yf x=的导数 22 21 ( ) (1) x fx xx + = + ，且( 1)1f -=，求( )yf x=的反函数 ( )xyj=的导数(1)j. 解：1y =Q时1,x = - 故 22 1(1) ( ) ( )21 xx y fxx j + = + , 从而 2 2 1 ( 1)( 1) (1)1 2 ( 1) 1 j + -+ - = - -+ . 34. 在括号内填入适当的函数，使等式成立： d( )cos d t t=； d( )sindx xw=; 1 d( )d 1 x x = + ； 2 d( )ed x x - =; 1 d( )dx x =; 2 d( )sec 3 dx x=； 1 d( )ln dx x x =; 2 d( )d 1 x x x = - . 解： (sint)cost = Q d(sin)cos dtCt t+=. 11 (cos)( sin)sinxxxwww ww -= - -=Q 45 1 d(cos)sindxCx xww w -+=. 1 ln(1) 1 x x += + Q 1 dln(1)d 1 xCx x += + . 222 11 (e)(2)e=e 22 xxx- -= - -Q 22 1 d(e)ed 2 xx Cx - -+=. 11 (2)2= 2 x xx = Q 1 d(2)dxCx x +=. 22 11 ( tan3 )sec 33sec 3 33 xxx = =Q 2 1 d( tan3)sec 3 d 3 xCx x+=. 2 1111 ( ln)2lnln 22 xxx xx = =Q 2 11 d( ln)ln d 2 xCx x x +=. 2 22 1 (1)( 2 ) 2 11 x xx xx -= - -= - Q 2 2 d(1)d 1 x xCx x -+= - . 35. 根据下面所给的值，求函数 2 1yx=+的,dyyD及dyyD -： 当1,0.1xx=D =时； 解： 2222 ()1 (1)22 1 0.1 0.10.21 d22 1 0.10.2 d0.21 0.20.01. yxxxx xx yxx yy D =+D+ -+=D +D= += =D = = D -=-= . 当1,0.01xx=D =时. 解： 46 22 22 1 0.01 0.010.0201 d22 1 0.010.02 d0.0201 0.020.0001. yx xx yxx yy D =D +D= += =D = = D -=-= 36. 求下列函数的微分： exyx=； ln x y x =； cosyx=； lntan 5 x y =； 2 86e xx yx=-； 2 arcsin(arctan )yxx=+. 解： d( e ) de (1)d xx yxxxx=+； 22 1 ln ln1 ln d() d()dd xx xx x yxxx xxx - - =； 11 d(cos) d( sin)dsind 22 yxxxxx x xx = -= -； lntanlntan2 1 d(5) d(ln5 5sec)d tan xx yxxx x = lntan 1 2ln5 5d sin2 x x x =； 22 d(86e ) d8(1ln ) 12e d xxxx yxxxxx=-=+-； 2 2 2 111 d arcsin(arctan ) d2arctand . 12 arcsin 1 yxxxxx xx x =+=+ + - ； 37. 求由下列方程确定的隐函数( )yy x=的微分dy： 1eyyx= +； 22 22 1 xy ab +=； 1 sin 2 yxy=+； 2 arccosyxy-=. 解： 对等式两端微分，得 de dd(e ) yy yxx=+ 即de de d yy yxxy=+ 于是 e dd . 1e y y yx x = - 47 对等式两端微分，得 22 11 2 d2 d0x xy y ab += 得 2 2 dd . b x yx a y = - 对等式两端微分，得 1 ddcos d 2 yxy y=+ 解得 2 dd . 2cos yx y = - 对等式两端微分，得 2 1 2 ddd 1 y yxy y -= - - 解得 2 2 1 dd . 121 y yx yy - = +- 38. 利用微分求下列函数的近似值： 3 8.1； ln0.99； arctan1.02. 解： 利用近似公式 3 1 11 3 xx+ +，有 3 33 1111 8.18(1)2 12 (1)2.0083 8080380 =+=+=. 利用近似公式ln(1)xx+，有 ln0.99ln(1 0.01)0.0100.=- - 取( )arctanf xx=，令 0 1,0.02xx=V， 而 2 1 ( ) 1 fx x = + ，则 2 1 arctan1.02arctan10.02 1 1 =0.7954. + + 39. 设0a ，且b与 n a相比是很小的量，证明： 1. nn n b aba na - + 48 证明：利用近似公式 1 11 n xx n + +，有 1 1 1(1) nn n nnn bbb abaaa an ana - +=+=+. 40. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和j均为可微函数： 34 ()yf xxj=+； (12 )3sin( )yfxf x=-+. 解： 3434 d()d()yfxxxxjj=+ 34234 = ()34()dfxxxxxxjj+ dd (12 )3dsin( )yfxf x=-+ = (1 2 )d(12 )3cos( )d ( ) (12 )( 2)d3cos( )( )d 2(1 2 )3cos( )( )d . fxxf xf x fxxf x fxx fxf x fxx -+ =-+ = -+ 41. 求下列函数的高阶微分： 2 1yx=+，求 2 d y； x yx=，求 2 d y； cos2yxx=，求 10 d y； 3 lnyxx=，求dny； 2323 cossin0raqq-=(a为常数)，求 2 d r. 解： 2 2 d( 1) dd 1 x yxxx x =+= + , 2 2 d() d 1 x yx x = + 3 22 2 (1) d.xx - =+ (ln )( ln )(1 ln ). x yyyy xxxx=+ 2 1 (1ln ), x yxx x = + 故 222 1 d(1ln )d (0). x yxxxx x =+ 由莱布尼兹公式，得 10 10(10)10( )(10)10 10 0 10910 10 d( cos2 )dCcos2 d 109 2cos(2) 10 2cos(2)d 22 1024( cos25sin2 )d. iii i yxxxxxx xxxx xxxx - = = =+ = -+ 49 由莱布尼兹公式，得 3( )13(1)23(2) 33(3) 31223 12 4 d(ln )C () (ln )C ()(ln ) C ()(ln )d (1)!(2)!(1)(3)! ( 1)3( 1)6( 1) 2 (1)(2)( +6 ( 1) 6 nnnn nn nn n nnn nnn n yxxxxxx xxx nnn nn xnxx xxx n nnn - - - - - =+ + - = -+ -+ - - - 3 3 4)!d ( 1)6 (4)!d. n n nnn x x nxx - - =- - 223 tanraq= 两端求导，得 2222 3 23tansectansec 2 rraraqqqq= 等式两端再求导得 22232 223(2tansec4tansec)rrraqqqq+=+ 解得 2 4 3114sin 4costan ra q qq + = 故 2 22 4 3114sin dd. 4costan ra q q qq + = 42. 求自由落体运动 2 1 ( ) 2 s tgt=的加速度. 解：( )s tgt= ( ) ( )s ts tg=即为加速度. 43. 求n次多项式 1 1 01 nn nn ya xa xaxa - - =+L的n阶导数. 解： 1 ( )( )1 ( )( )( )( ) 0100 ()()()()=()=! nnnnnnnnn nn ya xa xaxaa xan - - =+L 44. 设( )ln(1)f xx=+，求 ( )( ).n fx 解： ( )1 (1)! (ln )( 1) nn n n x x - - = -Q ( )( )1 (1)! ( )ln(1)( 1) (1) nnn n n fxx x - - =+= - + . 45. 验证函数e sin x yx=满足关系式220yyy-+= 证明：e (sincos ) x yxx = + e (sincos )e (cossin )2cose xxx yxxxxx = +-= 50 故222cosee (2sin2cos )2e sin0 xxx yyyxxxx-+=-+= 46. 求下列函数的高阶导数： esin , x yx=求 (4) y； 22 e , x yx=求 (6) y； 2 sin ,yxx=求 (80) y. 解：esinecose (sincos ) xxx yxxxx = +=+ (4) e (sincos )e (cossin )2cose 2e (cossin ) 2e (cossin )2e ( sincos )=4e sin xxx x xxx yxxxxx yxx yxxxxx = +-= = - =-+- 6 (6)2(6)2 6 0 (e )() ixii i yCx - = = 22(6)22(5)22(4) 6225242 22 (e )6() (e )15() (e ) 2e6 22 e15 2 2 e 32e (21215) xxx xxx x xxx xx xx =+ =+ + =+ 80 (80)2( )(80) 80 0 () (sin ) iii i yCxx - = = 2(80)(79)(78) 2 2 (sin )80 2(sin )3160 2 (sin ) sin(80)+160sin(79)6320sin(78) 222 sin160 cos6320sin . xxxxx xxxxx xxxxx =+ =+ =- 47. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数 2 2 d d y x ： 222222 b xa ya b+=； 1eyyx= +； tan()yxy=+； 24 2lnyyx+=. 解： 两边对x求导，得 22 220b xa yy+= 224 22223 b xbyxyb yy a yaya y - = -= -= -. 两边对x求导，得 ee yy yxy=+ 51 2 23 ee(2)e ()e(3) 2(2)(2) yyyy yyyy yy yyy - = - . 两边对x求导，得 2 sec ()(1)yxyy=+ 2 32 1 cot () 2cot() cot() csc() (1) 2cot () csc (). yxy yxyxyxyy yxyxy = - -+ =+ = -+ 两边对x求导，得 3 2 24yyyx y += 3 2 3223 22 22242 2 3 2 1 (223)(1)22 (1) 23(1)2(1) . (1) yx y y y xyxyyxyy y y x yyxy y = + +- = + +- = + 48. 已知( )fx存在，求 2 2 d d y x ： 2 ()yf x=； ln( )yf x=. 解： 2 2()yxfx= 22 222 2()22() 2()4() yfxxxfx fxx fx =+ =+ ( ) ( ) fx y f x = 2 2 ( ) ( )( ) ( ) fx f xfx y fx - = 49. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数 2 2 d d y x ： (sin ), (1 cos ), xa tt yat =- =- (a为常数)； 52 ( ), ( )( ), xf t ytf tf t = =- 设( )ft存在且不为零. 解： d dsinsin d d d(1 cos )1 cos d y yatt t x xatt t = - 2 2 2 2 ddsindsin1 ()() d dd1 cosd1 cos d cos (1-cos )-sinsin1 = (1-cos )(1 cos ) 1 =. (1 cos ) ytt x xxttt t tttt tat at = - - - - d d( )( )( ) d d d( ) d y yf ttftf t t t x xft t +- = 2 2 ddd111 ( )( )1 d ddd( )( ) d y tt x xxtftft t = = . 50. 求下列函数在指定点的高阶导数： 2 ( ), 1 x f x x = + 求(0) f ； 21 ( )e, x f x - =求(0) f ，(0) f ； 6 ( )(10) ,f xx=+求 (5)(0) f， (6)(0) f. 解： 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 ( )(1) 1 x xx x fxx x - +- + =- + 5 2 2 3 ( )(1)2 2 fxxx - = - 故(0)0 f =. 21 ( )2e x fx - = 21 21 ( )4e ( )8e x x fx fx - - = = 53 故 4 (0) e f =， 8 (0) e f =. 5 ( )6(10)fxx=+ 4 3 (4)2 (5) (6) ( )30(10) ( )120(10) ( )360(10) ( )720(10) ( )720 fxx fxx fxx fxx fx =+ =+ =+ =+ = 故 (5)(0) 720 107200f=， (6)(0) 720f= 51. 设( )yf x=是由方程组 2 323, e sin1, y xtt yt =+ =+ 所确定的隐函数，求 2 0 2 d d t y x = . 解：分别对已知方程组的两边关于x求导，得： dd 162, dd ddd esine cos, ddd yy tt t xx yyt tt xxx =+ =+ 再对x求一次导，得 22 2 22 22 2 22 ddd 06()62, ddd dddyddd (e) sin2ecose sin ()e cos, dddddd yyyy x ttt t xxx yyttt tttt xxxxxx =+ =+-+ 将 0 0,1 t ty = =代入上述各式，得 00 2 0 2 22 0 2 d1de , , d2d2 d3 , d4 de3 e. d24 tt t t ty xx t x y x = = = = = - =- 52. 验证：函数( )lnsinf xx=在 5 , 66 上满足罗尔定理的条件，并求出相应的x，使 54 ( )0fx=. 证 ：( )lnsinf xx=在 区 间 5 , 66 上 连 续 ， 在 5 (,) 66 上 可 导 ， 且 5 ( )()ln2 66 ff= -，即在 5 , 66 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存 在 一 点 5 (,), 66 x使( )0fx=. 事 实 上 ， 由 cos ( )cot0 sin x fxx x =得 5 (,), 266 x =故取 2 x=，可使( )0fx=. 53. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的x？ 2 0 1, ( ) 0,1 0 1, xx f x x + 证明：令( )ln(1)f xx=+在0，x上应用拉格朗日定理，则(0, ),xx$ 使得 ( )(0)( )(0)f xffxx-=- 即ln(1) 1 x x x += + ,因为0xx + 设0,1.abn证明： 11 ()(). nnnn nbababnaab - -证明： ln. abaab abb - 证明： 1 11. 2 xx+ 证明：令( )1f xx=+，0, xx,应用拉格朗日定理，有 ( )(0)( )(0), (0, )f xffxxxx-=- ( )( )(0)f xfxfx=+1 1 22 1 xx x =+ + 57. 如果( )fx在a， b上连续， 在 （a， b） 内可导且( )0,( )0,fafx证明( )( )f bf a. 证明：因为( )fx在a, b上连续，在（a，b）内可导，故在a，x上应用拉格朗日定理， 则( , ),()a xaxbx$ - , 于是( )( )0fxfa,故有( )( )f bf a 58. 设( )( )( )f af cf b=，且acb,( )fx在a，b内存在，证明：在（a，b）内至少 有一点x，使( )0fx=. 证明：( )fx在a，b内存在，故( )f x在a，b上连续，在（a，b）内可导，且 ( )( )( )f af cf b=，故由罗尔定理知， 1 ( , )a cx$，使得 1 ( )0fx=， 2 ( , )c bx$， 使得 2 ()0fx=，又( )fx在 12 ,x x上连续，在 12 ( ,)x x内可导，由罗尔定理知， 12 ( ,)xx x$ ，使( )0fx=，即在（a，b）内至少有一点x，使( )0fx=. 59. 已知函数( )f x在a，b上连续，在（a，b）内可导，且( )( )0f af b=，试证：在（a， b）内至少有一点x，使得 57 ( )( )0, ( , )ffa bxxx+=. 证明： 令( )( ) e