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文档简介

常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。,常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。,本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。,重点,五种标准类型的一阶方程的求解,可降阶的高阶方程的求解,二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解,难点,求解全微分方程,求常系数非齐次线性方程的通解,基本要求,明确微分方程的几个基本概念,牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程,牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，,会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解,掌握全微分方程的解法,会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程,掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程,一、问题的提出,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,二、微分方程的定义,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,三、主要问题-求方程的解,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,一阶:,过定点的积分曲线;,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),四、小结,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条
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