《子环环同态和理想》PPT课件.ppt

近 世 代 数 (Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第5节 子环, 环的同态,河北师范大学,第三章 环与域,定义 若环,的非空子集,关于环,的加法与乘法也做成环，称,为,的子环，,判定,记作,例1,同样有子除环，子整环和子域的概念.,的中心.,证明：,定义： 若环,关于加法是循环群，称,为循环环.,，则,时，,（2）当,时，,例如 整数环是循环环.,性质1 若,（1）当,性质2 (1) 循环环是交换环；,(2) 循环环的子环是循环环；,(3) 无限阶循环环的特征是无限.,n阶循环环的特征是n.,事实上（1）,定义 设,是两个环,是集合,的映射.如果对任意的,有,则称,为环,的一个同态映射.,又为满射,则称,为满同态,并称,同态.,既是单射又是满射,则称,为同构，记作,并称,同构.,如果,记作,如果,定理1,若,与,是各有两个代数运算的系统，,，则当,是环时，,也是环.,定理2 若,是环，且,，则,(4)当,是交换环时，,也是交换环；,是有单位元环时，,也是有单位元,与,(5)当,的，且,且,问：环同态对无零因子传递吗？,例2,为4阶循环环，即,且,则建立,有零因子，,无.,例3,做成环.,的零元是,，而,故,有零因子,无.,注：同态对环有无零因子不具传递性；,同态对环的性质不完全传递；,但是同构的环性质完全相同.,定理3,若,与,是环，且,，则,是无零因子环（整环、除环、域）,是无零因子环（整环、除环、域）,定理4（环的挖补定理）（了解）,设,为环,的子环，且,与环,同构，,，又若,，即,与,在,里的补集无公共元素，则存在,使,，,即,环,第7-9节 理想 最大理想 同态,河北师范大学,定义 设,为环,为,的非空子集.,满足:,则称,的一个理想.,如果,为,由定义可知,理想一定是子环.,与,本身都是,理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.,的理想.这两个,的不等于它自身的理想(如果有的话),的真理想.,除环只有零理想与单位理想.,定理,称为,一般的，一个环除平凡理想外还会有其他理想，例如,例,试求,的所有理想.,的全部子群为：,为,的理想.,的全部理想为,解,由此知,可见：Z的子加群，子环与理想是一致的. 同样地，模n的剩余类加群也是如此.,定义 设,为环,为,的理想.,分别称为理想,的和与交.,集合,定理6 (1)环,的两个理想,的和,与交,都是,的理想;,(2)环,的任意有限多个理想的和,还是理想.,的任意多个理想的交还是理想.,环,证明,(1),是,的理想.,（2）,是,的理想.,定义,设,为环, 称环,中所有,的理想的交为由,生成的主理想,即,包含,记作,是,中包含,的最小理想.,为有单位元的交换环时,因此 整数环,的每个理想都是主理想.,为有单位元的环时,为交换环时,定义,设,为环,则,为,的理想,称为,生成的理想, 记作,由,例5 假设Zx是整数环上一元多项式环，则 （2,x）不是一个主理想. (见教材112页),设,为环，,为,的理想.则,是,的加群意义下的不变子群:,（2）,，则,（3）,（1）,为,在,中的一个陪集:,（4）,的加法与乘法:,则,关于如上所定义的运算构成环.,定义：称环,为商环，也称为环,的模理想,的剩余类环.,为交换环,则,也是交换环.,有单位元,则,也有单位元,且,如果,如果,，负元：,零元：,例1,设,为大于1的正整数,则,为,的理想,从而考虑商环,即商环,就是模,的剩余类环.,定理1,（,定义2 设,为环,的同态,称集合,为同态,的核.,）,定理2（环同态基本定理）设,为环,的同态满射,则,一个环 R 的一个不等于 R,除了 R 同 I 自己以外，,没有包含 I 的理想.,定义：,的理想 I 叫做,一个最大理想，假如，,例4： 求整数环的所有最大理想.,所有理想：,是最大理想,是素数.,引理1：假定 IR 是环 R 的理想，剩余类,I是最大理想.,环R/I只有平凡理想,引理2：如果一个有单位元的交换环R,