《微分方程作业解答》PPT课件.ppt

1,1.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:,所以,不是所给微分方程的解,第七章 微分方程 作业题,解,(1),因为,2,所以,是所给微分方程的解,因为,解,3,(1)曲线在 的切线斜率等于该点横坐标的平方, 曲线上点 处的法线与 轴的交点为 ,且线段,被 轴平分.,由已知所求微分方程是,则,处的法线斜率为,由条件，,点的坐标为,从而有,即,解 设曲线为,解 设曲线为,2. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程,4,3求下列微分方程的解:,解 分离变量,两边积分,即,通解为,解 分离变量得,两边积分得,即,5,解 分离变量得,即,两边积分,故通解为,6,解 分离变量得,两边积分,故通解为,7,解 分离变量得,两边积分,即,或,由,得,故方程的特解为:,8,(6),解 分离变量得,两边积分得,即,或,由,得,所以特解为,9,4. 镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存,量R 正比。,由经验材料得知，镭经过1600年后，只余,原始量R0的一半。试求镭的量R与时间t的函数关系,即,由题设知,解,两边积分得,故,因为当,时,故,即,又当,时,故,从而,因此,10,5求下列齐次微分方程的解:,解 此题是齐次方程,令,则原方程化为,即,两边积分得,即,将,代入上式得原方程的通解为,11,解 原方程变形为,令,则上式化为,即,分离变量,两边积分得,即,将,代入上式得原方程的通解,即,12,解 这是齐次方程,即,则方程化为,或,两边积分得,即,将,代入上式得原方程的通解为,由,得,故所求特解为,即,令,13,解,即,两边积分得,将,代入上式得原方程的通解为,由,得,故所求特解为,则原方程化为,令,14,6 设有联接点,和,的一段向上凸的曲线弧,对于,曲线弧上任一点,与直线段,所围图形的面积为,求曲线弧,的方程,曲线弧,解,设所求曲线弧,的方程为,由题意得,两边求导得,即,令,则有,即,15,因而,从而所求方程为,在曲线上，,由于,将,代入上式得方程的通解为,两边积分得,16,解 原方程变为,由通解公式,得,7求下列微分方程的解:,17,解 原方程变形为,所以,18,解 原方程变形为,由一阶线性微分方程的通解公式,得,19,解 由一阶线性微分方程的通解公式,得,由, 得,故所求特解为,20,解 由一阶线性微分方程的通解公式,得,故所求特解为, 得,由,21,解 这是一个伯努利方程.,则,原方程可化为,由一阶线性微分方程的通解公式,得,通解为,令,22,解,即,两边积分得,将,代入上式,得原方程的通解为,即, 则原方程化为,令,23,解, 则原方程化为,即,将,代入上式得原方程的通解,即,令,两边积分,即,24,解 由题意知,并且,根据一阶线性微分方程的通解公式得,故所求曲线的方程为,8. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在 点 处的切线斜率等于 .,25,解,即,两边积分得,原方程的通解为,9.求下列微分方程的解:,则原方程化为, 即,26,则原方程化为,即,由一阶线性齐次方程的通解公式得,即,于是,原方程的通解为,27,解,则,原方程化为,两边积分得,即,原方程的通解为,令,28,(5),解,这是原方程的一个解再由,从而,故原方程的通解为,原方程化为, 即,29,(6),解,原方程化为, 或,两边积分得,，两边积分得,从而原方程的特解为,30,11,的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解.,并且,不恒为常数 所以,与,是方程的线性无关解,解,因为,从而方程的通解为,31,因为,的线性无关解,解,令,又因为,32,解,特征根是,故方程通解为,特征方程为,特征根是,故方程通解为,特征方程为,13 求解下列微分方程:,解,33,(3),特征方程为,特征根是,故方程通解为,(4),特征方程为,特征根为,故微分方程的通解为,解,解,34,(5),特征方程为,特征根是, 故方程通解为,(6),特征方程为,特征根是, 故方程通解为,解,解,35,特征方程为,解之得特征根,故方程通解为,代入初始条件得,解得,因而所求特解为,(7),解,36,方程的特征方程为,特征根为,故对应的齐次方程的通解为,因为,所以设原方程的特解为,代入原方程得,解得,从而,因此 原方程的通解为,14 求解下列微分方程: ,解,不是特征方程的根,37,方程的特征方程为,特征根为,故对应的齐次方程的通解为,因为,不是特征方程的根,代入原方程得,比较系数得, 从而,因此 原方程的通解为,(3),解,设原方程的特解为,38,特征方程为,特征根为,齐次方程的通解为,因为,是特征方程的单根,代入得,比较系数得,从而,因此 原方程的通解为,(2),解,设原方程的特解为,39,特征方程为, 特征根为,齐次方程的通解为,故原方程的特解设为,代入原方程得,比较系数得,从而,因此 原方程的通解为,(4),解,40,特征方程为, 特征根为,齐次方程的通解为,因为,不是特征方程的根,设原方程的特解为,代入原方