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曲线的凹凸与拐点,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。,L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,证明,分别应用L定理，得,两式相减，得,由假设,这就证明了,同理可证（1）,注,定理的结论可推广到任意区间上,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,证,由高阶导数判定极值的方法知,不妨设为极小值,二阶导数变号，,例5,解,例6,解,是拐点,例7,Jensen不等式,证,由Taylor公式，得,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判
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