《极限的性质与运算》PPT课件.ppt

2019年6月11日星期二,1,2.2 极限的性质与运算法则,一、性质,性质1(唯一性),若极限lim f(x)存在，则极限唯一。,注,此定理对数列也成立。,性质2(局部有界性),注,1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范,围确定。,2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由,具体函数确定。,2019年6月11日星期二,2,性质3(局部保号性),性质4,注,性质5,2019年6月11日星期二,3,二、四则运算法则,根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 (x)的极限, 而不能求出函数(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。,定理,2019年6月11日星期二,4,证,2019年6月11日星期二,5,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,推论3,推论4,推论5,2019年6月11日星期二,6,注,应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为,零、偶次根号下非负等；,定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。,如,(3)参加求极限的函数应为有限个。,2019年6月11日星期二,7,例,例,2019年6月11日星期二,8,况)时可直接代入 (其理论根据是初等函数的连续性，我们在这 一章的最后一节学习) 。,例,利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一 些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。 1、代入法,答案,注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。,2019年6月11日星期二,9,例1,解,2019年6月11日星期二,10,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,2019年6月11日星期二,11,2、消零法,若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，,再消去公因式，直至可直接代入。,例,计算过程,2019年6月11日星期二,12,解,例3,2019年6月11日星期二,13,3、消最大公因子法,例,练习,答案 0,同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、,分母除以最高次数的项。,计算过程,很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。,2019年6月11日星期二,14,例5,解,例4,解,2019年6月11日星期二,15,例6,解,先变形再求极限.,2019年6月11日星期二,16,实际上是我们下一节将要学到的,备忘,消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。,例,计算过程,注,2019年6月11日星期二,17,4、有理化法,若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之有理,化。,例,计算过程,练习,答案,当x-时结果为-(a+b)，故x时极限不存在,2019年6月11日星期二,18,例7,解,2019年6月11日星期二,19,5、通分法,例,答案,练习,答案 -1,2019年6月11日星期二,20,6、变量代换法,例,方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之,改变)。,练习,答案 不存在。,计算过程,提 示,取t满足xt=1，则 x0-时t-； x0+时t+。,2019年6月11日星期二,21,7、其他,必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。,例,答案 1,练习,答案 1,2019年6月11日星期二,22,计算极限,思考题,2019年6月11日星期二,x3-x2-16x-20 = x3+2x2-3x2-6x-10x-20 =x2 (x+2) -3x (x+2) -10 (x+2) = (x+2) (x2 -3x-10) = (x+2) (x+2) (x-5) 注意从高次幂到低次幂 依次配项,2019年6月11日星期二,分子、分母同除以最高次幂,2019年6月11日星期二,分子、分母同除以“最大项”,2019年6月11日星期二,平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b),立方差公式 a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b),2019年6月11日星期二,为把两个根号同时去掉,做变量代换,当x1时t1，因此,消零法。例如