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3.4 两个r.v.的函数及其分布,X与Y 独立,即,连续型,对一切 i , j 有,离散型,X与Y 独立,对任何 x ,y 有,复 习,在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的概率分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?其中 是连续函数.,当( X ,Y )为离散型r.v.时, Z也是离散型的，,一、两个离散型r.v.的函数的概率分布,例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,解： 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：,X +Y,X -Y,X Y,Y / X,-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,故得,-2 -1 0 1 2,解：依题意,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,的泊松分布.,设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且相互独立，,则 X + Y B ( n1+n2, p),方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件,二、两个连续型r.v.的函数的概率分布,其中,问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求 密度函数.,1. 和的分布：Z = X + Y,设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则,x +y= z,或,或,即,特别地，若X ,Y 相互独立，则,或,或,称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积,x +y= z,解法一 从分布函数出发(必须掌握),(1)当z 0 时，,(2)当0 z 1 时，,例3 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),(3)当1 z 2 时，,z-1,(4)当2 z 时，,综合上述可得,例3 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为,Z = X + Y ,求 f Z (z),解法二（图形定限法）,显然X ,Y 相互独立,且,例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解： 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,正态随机变量的结论,若X ,Y 相互独立,则,则,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,2. 平方和的分布: Z = X 2+Y 2,设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)，则,例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互独立， Z = X 2+Y 2 , 则,自由度为2 的 2分布,称为,已知(X ,Y )的联合d.f. 为f (x,y)，令Z = X / Y , 求 f Z (z).
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