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专业数学（下）课件 （适合工大班）,西飞工学院高级工程师 冯建军,第八章 多元函数微分法及其应用,开 始,退出,第一节 多元函数的基本概念,返 回,第二节 偏导数,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 微分法在几何上的应用,第八节 多元函数的极值及其求法,第七节 方向导数与梯度,第三节 全微分,总习题,返 回,一.区域,四.多元函数的连续性,三.多元函数的极限,二.多元函数概念,第一节 多元函数的基本概念,习题,第一节 多元函数的基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点 距离小于的点 的全体称为 的邻域，记为 ，即 也就是,返 回,下一页,2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域 使 ， 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E的点都是内点，则 称E为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起,下一页,上一页,返 回,来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图 8-2 3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 的全体为n维空间,而每个有序n元数组 称为n维空间中的一个点,数 称,返 回,下一页,上一页,为该点的第i个坐标,n维空间记为 . n维空间中两点 及 间的距离规定为,返 回,下一页,上一页,二、多元函数概念 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P=(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数),记为 点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z,例题,返 回,下一页,上一页,也称为因变量,数集 称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D.则可类似的定义n元函数 .当n=1时，n元函数就是一元函数.当n2时n元函数统称为多元函数.,返 回,下一页,上一页,二元函数的几何图像,三、多元函数的极限 二元函数 当 , ,即 时的极限. 这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就 是点 与点 间的距离趋于零，即 定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义， 是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式,返 回,下一页,上一页,的一切点P(x,y)D，都有 成立，则称常A为函数f(x,y)当 ， 时的极限，记作 或 这里 .,例题,返 回,下一页,上一页,四、多元函数的连续性 定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义， 是D的内点或边界点且 . 如果 则称函数f(x,y)在点 连续. 若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间短点. 函数,返 回,下一页,上一页,当x0,y0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点. 函数 在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线. 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值. 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切PD，有,返 回,下一页,上一页,性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于D上的,返 回,下一页,上一页,任意二点 ，只要当 时，都有 成立. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即,例题,返 回,上一页,练习题,练习题答案,一.偏导数的定义及其计算方法,二.高阶偏导数,第二节 偏导数,习题,返 回,一、偏导数的定义及其计算方法 定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当y固定在 而x固定在 处有增量x 时，相应地函数有增量 如果 （1） 存在，则称此极限为函数 在点 处对x的偏导数 ，记作,返 回,下一页,例如，极限(1)可以表示为 (2) 类似地,函数 在点 对y的偏导数定义为,返 回,下一页,上一页,(3) 记作 如果函数 在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y函数,它就称为函数 对自变量x的偏导函数，记作,返 回,下一页,上一页,类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数.,例题,返 回,下一页,上一页,图 8-6,返 回,下一页,上一页,二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 那么在D内 都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数：,返 回,下一页,上一页,二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下述几何意义. 设 为曲面z=f(x,y)上的一点,过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ,则导数 ，即偏导数 ,就是 这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对y轴的斜率.,返 回,下一页,上一页,其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏 导数 及 在D内连续，那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等.,例题,例题,返 回,上一页,第三节 全微分及其应用,习题,下一页,返 回,第三节 全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率. 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一,下一页,上一页,返 回,点，则称这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增量，记作z，即 定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 (1) 可表示为,下一页,上一页,返 回,其中A、B不依赖于x、y而仅与x,y有关， ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而 称为函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分，记作dz,即 (2) 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分. 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条件. 定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点,下一页,上一页,返 回,(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微 分为 (3) 证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P的某个邻域内的任意点 ，(2)式总成立.特别当 时(2)式也应成立，这时 ，所以(2)式成为,下一页,上一页,返 回,上式两边各除以 ，再令 而极限，就得 从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证 =B.所以三式成立.证毕.,下一页,上一页,返 回,定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数 在(x,y)连续，则函数在该点可微分. 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思.设点 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量,下一页,上一页,返 回,在第一个方括号内的表达式，由于y+y不变，因而可以看作是x的一元函数 的增量.于是应用拉格郎日中值定理，得到 又依假设， 在点 连续，所以上式可写为,下一页,上一页,返 回,(4) 其中 为x、y的函数，且当 时， . 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 (5) 其中 为y的函数，且当 时， . 由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为,下一页,上一页,返 回,容易看出 它就是随着 即 而趋于零的. 这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的.,例题,上一页,返 回,一.空间曲线的切线与法平面,二.曲面的切平面与法线,第六节 微分法在几何上的应用,返 回,习题,一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程 (1) 这里假定(1)式的三个函数都可导. 在曲线上取对应与 的一点 及对应于 的邻近一点 .根据解析几何， 曲线的割线 的方程是,返 回,下一页,当 沿着趋于 ，时割线 的极限位 置 就是曲线在点 处的切线(图8-7). 用t除上式的各分母，得 令 (这t0)， 通过对上式取极限，即得 图 8-7 曲线在点 处的切线方程,返 回,下一页,上一页,这里当要假定 都不能为 零. 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 就是曲线通过在点 处的一个切向量. 点通过 而与切线垂直的平面称为曲线在,返 回,下一页,上一页,点 处的法平面，它是通过点 而 以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为,返 回,下一页,上一页,二、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 的情形，然后把显式给出的曲面方程z=f(x,y) 作为它的特殊情形. 设曲面由方程(9)给出， 是曲 面上的一点，并设函数 的偏导数 在该点连续且不同时为零.在曲线上，通过点 M引一条曲线(图8-8)，假定曲线的参数方 程为,返 回,下一页,上一页,程为 (10) 对应于点 且 ， ， 不全为 零，则由(2)式可得这 曲线的切线方程为 图 8-8,返 回,下一页,上一页,引入向量 则 表示(10)在点M处的切向量,返 回,下一页,上一页,与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的 任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向 量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面 在点M的切平面.这切平面的方程是 (12) 通过点 而垂直于切平面(12)的 直线称为曲面在该点的法线.法线方程是,返 回,下一页,上一页,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 就是曲面在点M处的一个法向量.,返 回,上一页,一.多元函数的极值及最大值、最小值,二.条件极值,第八节 多元函数的极值及其求法,返 回,习题,第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数 在点 的 某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点 ：如果都适合不等式 则称函数在点 有极大值 ；如 果都适合不等式,返 回,下一页,则称函数在点 有极小值 .极大 值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称 为极值点. 以上关于二元函数的极值概念，可推广到n 元函数.设n元函数 在点 的某一邻 域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任 何点 都不适合不等式,返 回,下一页,上一页,则称函数 在点 有极大值(极小值) . 定理1(必要条件) 设函数 在 点 具有偏导数，且在点 处有极 值，则它在该点的偏导数必然为零： 证 不妨设 在点 处 有极大值.依极大值的定义，在 的某邻,返 回,下一页,上一页,域内异于 的点 都适合不等式 特殊地，该邻域内取 而 的点，也 应合适不等式 这表明一元函数 在 处取得极大 值，因而必有,返 回,下一页,上一页,类似地可证 如果三元函数 在点 具有偏导数，则它在点 具有极值的 必要条件为 定理2(充分条件) 设函数 在,返 回,下一页,上一页,点 的某邻域内连续且具有 一阶及二阶 连续偏导数，又 ， ，令 则 在 处是否取得极值的条件如 下： (1) 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值； (2) 时没有极值； (3) 时可能有极值，也可能没,返 回,下一页,上一页,有极值，还需另作讨论. 二阶连续偏导数的函数 的极值 的求法叙述如下： 第一步 解方程组 求得一切实数解，即可求得一切驻点. 第二步 对于每一个驻点 ，求出 二阶偏导数的值 和 . 第三步 定出 的符号，按定理2的,返 回,下一页,上一页,结论判定 是否是极值、是极大值还是极 小值.,返 回,下一页,上一页,二、条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题，对于函数的自变 量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他 条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问 题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条 件的极值问题. 例如，求表面积为 而体积为最大的长方 体的体积问题.设长方体的三棱的长为 还必须满足附加条件 .象这 种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.,返 回,下一页,上一页,对于有些实际问题，可以把条件极值化为 无条件极值，然后利用第一目中的方法加以解 决.例如上述问题，可由条件 ，将z表示成x,y的函数 再把它代入 中，于是问题就化为求,返 回,下一页,上一页,的无条件极值. 但在很多情形下，将条件极值化为无条件 极值并不这样简单.我们另有一种直接寻求条件 极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极 值的问题. 拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 其中 为某一常数.求其对x与y的一阶偏导数，,返 回,下一页,上一页,并使之为零，然后与方程 联立起来： 由这方程组解出 及 ，则其中 就是函 数 在附加条件 下的可能极值 点的坐标.,返 回,下一页,上一页,第八章结束,上一页,返 回,总习题 八 1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中选择一个正 确的填入下列空格内： （1） 在点 可微分是 在该点连续的 充分 条件. 在点 连续是 在该点可微分的 必要 条件. （2） 在点 的偏导数 及 存在是 在该点可微分的 必要,下一页,返 回,条件. 在点 可微分是函数在 该点的偏导数 及 存在的 充分 条件. （3） 的偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分的 充分 条件. （4）函数 的两个二阶混合偏导 数 及 在区域D内连续是这两个二阶,下一页,返 回,上一页,混合偏导数在D内相等的 充分 条件. 2.求函数 的定义 域，并求 . 3.证明极限 不存在.,下一页,返 回,上一页,题解,题解,4.设 求 及 . 5.求下列函数的一阶和二阶偏导数：,下一页,返 回,上一页,题解,题解,题解,6.求函数 当 时的全增量和全微分. 7.设 证明： 在点(0,0)处连续且偏导数存 在，但不可微分.,下一页,返 回,上一页,题解,题解,8.设 ，而 都是可微 函数，求 . 9.设 具有连续偏导数，而 求 . 10.设 ，其中f具有连续 的二阶偏导数，求 .,下一页,返 回,上一页,题解,题解,题解,11.设 试求 和 . 12.求螺旋线 在点 处的切线及法平面方程. 13.在曲面 上求一点，使这点处的法线 垂直于平面 ，并写出这法线 的方程.,下一页,返 回,上一页,题解,题解,题解,14.设x轴正向到方向 的转角为 ，求函数 在点(1,1)沿方向 的方向导数，并分别确定转 角 ，使这导数有(1)最大值，(2)最小值，(3) 等于0. 15.求函数 在椭球面 上点 处沿外法线方向的方向导 数.,下一页,返 回,上一页,题解,题解,16.求平面 和柱面 的交线上与xOy平面距离最短的点. 17.在第一卦限内做椭球面 的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的 四面体的体积最小.求着切平面的切点，并求此 最小体积.,返 回,上一页,题解,题解,解：求定义域 需满足 即 需满足,下一页,返 回,而 是D的一个内点.,返 回,上一页,解： 设当 时， 沿 的方向趋近于 零 显然，该极限随k的 不同而改变.,返 回,解： 当 ,显然 . 当 ,下一页,返 回,下一页,返 回,上一页,同理 当 ,显然 . 当 ,返 回,上一页,解：,返 回,解：,返 回,解：全增量,返 回,下一页,返 回,上一页,证明: 显然 时, 有,返 回,下一页,返 回,下一页,上一页,返 回,下一页,上一页,返 回,若令 沿 方向趋近于0,上一页,解:,返 回,解:,返 回,解:,返 回,解:,返 回,下一页,返 回,上一页,解:,返 回,解:,返 回,解:,返 回,解:,返 回,下一页,返 回,下一页,上一页,返 回,上一页,解:,返 回,下一页,返 回,上一页,解:,返 回,下一页,上一页,返 回,下一页,上一页,返 回,下一页,上一页,返 回,上一页,习 题 8-1 1.已知函数 试 求 . 2.试证函数 满足关系式. 3.以知函数 ，试求 .,下一页,返 回,4.求下列各函数的定义域：,下一页,返 回,上一页,5.求下列各极限：,下一页,返 回,上一页,6.证明下列极限不存在：,下一页,返 回,上一页,7.函数 在何处是间断的？ 8.证明 .,上一页,返 回,例1 圆柱体的体积 和它的底半径 、高 之间具有关系 这里，当 、 在集合 内 取定一对值 时， 的对应值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强 、体积 和 绝对温度 之间具有关系,下一页,返 回,其中 为常数.这里，当 、 在集合 内取定一对值 时， 的值就随之确定. 例3 设 是电阻 并联后的总电阻，由 电学知道，它们之间具有关系 这里，当 在集合 内取定一对值 时， 的对应值就随之确定.,上一页,返 回,例4 设 求证 证 因为 可见，对任给 ，取 则当,下一页,返 回,时，总有 成立，所以,下一页,上一页,返 回,例5 求 解 这里 在区域 和区域 内都有定义， 同时为 及 的边界点. 但无论在 内还是在 内考虑，下列运算都 是正确的：,上一页,返 回,例6 求 解 函数 是初等函数，它的定 义域为 因 不是连通的，故 不是区域.但 是区域，且 ，所以 是函数 的 一个定义域.因 ，故,下一页,返 回,例7 求 解,下一页,上一页,返 回,上一页,返 回,习 题 8-2 1.求下列函数的偏导数,下一页,返 回,2.设 ，求证 . 3.设 ，求证 . 4.折 ， 求 .,下一页,返 回,上一页,5.设 ，在(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 6.求下列函数的 ， 和,下一页,返 回,上一页,7.设 ，求 ， ， 及 . 8.设 ，求 及 . 9.验证： 满足 ； 满足,下一页,返 回,上一页,例1 求 在点(1,2)处的偏导数. 解 把 看作常量 把 看作常量 将(1,2)代入上面的结果，就是,下一页,返 回,例2 求 的偏导数 解,下一页,上一页,返 回,例2 求 的偏导数 解,下一页,上一页,返 回,例3 设 ，求证： 证 因为 ， ， 所以,下一页,上一页,返 回,例4 求 的偏导数. 解 把y和z都看作常量，得 由于所给函数关于自变量的对称性，所以,上一页,返 回,例6 设 ，求 、 、 、 及 . 解,下一页,返 回,返 回,上一页,例7 验证 满足方程 证 因为 ， 所以 ，,下一页,返 回,因此 例8 证明函数 满足方程,下一页,返 回,上一页,其中 . 证 由于函数关于自变量的对称性，所以,下一页,返 回,上一页,因此,返 回,上一页,习 题 8-3 1.求下列函数的全微分： 2.求函数 当 时 的全微分.,下一页,返 回,3.求函数 当