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动量和能量一章习题解答 习题31 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R， 当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为： (A) 2mv。 (B) 。 (C) 。 (D) 0。 解：摆球的重力是一个大小和方向都不 变的恒力，因此，当摆球在轨道上运动半 周时，摆球所受重力的冲量为 m v R 习题31图 案 因此，该冲量的大小为 所以应当选择答案(C)。 习题32 质量为m的小球自高为y0处 沿水平方向以速率v0抛出，与地面碰 撞后跳起的最大高度为y0/2，水平速 率为v0/2。则碰撞过程中：(1) 地面对 小球的垂直冲量的大小 为 ；(2) 地面对小球的水 平冲量的大小为 。 X Y m O 习题32图 解：由动量定理的分量式可得 习题33 一物体的质量M=2kg，在合外力(SI) 作用下，从静止出发沿水 平x轴作直线运动，则当t=1s时物体的速度 。 解：根据单质点动量定理，我们有 即有 所以 习题34 静水中停泊着两只质量均为M的小船，第一只船在左边，其 上站着一个质量为m的人，该人以水平向右的速度从第一只船上跳到其 右边的第二只船上，然后又以同样的速率v水平向左地跳回第一只船 上，此后： (1) 第一只船运动的速度为 ； (2) 第二只船运动的速度为 。 解：人船系统动量守恒，可得 解得 ， 习题35 质量m为10kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静 止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱与 地面间的摩擦系数为0.2，那么在t=4s时，木箱的速度大小 为 ；在t=7s时，木箱的速度大小为 。(g取 10m/s2) t(s) F (N) 4 7 30 O 习题35图 解：根据质点动量定理我们有 即 当t=4s时，木箱的速度大小为 t=7s时，木箱的速度大小为 注意：根据定义，某力F(t)在某一时间间隔内的冲量大小等于该力力曲线 F(t) t下的面积 习题36 一质点的运动轨迹如图所示，已知质点的质量为20g， 在A、B二位置处的速率都为20m/s，与X轴成45角， 垂直于Y轴，求质 点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。 解： ， 45 B Y X O A B A 图2-22 (Ns) 注意：本题已给出坐 标系，用矢量列式进行 计算更方便 习题37 高空作业时系安全带是必要的。假如一质量为51.0kg的人在 操作时不慎从高空跌落下来，由于有安全带的保护，最终使他被悬挂起 来。已知此时人离原处的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为 0.50s，求安全带对人的平均冲力。 解：根据动量定理(取竖直向下为坐标轴正方向) 所以，安全带对人的平均冲力为 此力为负值说明其方向与取定的坐标轴方向相反，是竖直向上的。 习题38 一个人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由 于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水。求水桶被匀速地从井中 提到井口人所作的功。 解：依题意，桶中水的质量随桶到井底的距离x的变化关系为 因此，水桶被匀速地从井中提到井口人所作的功为 注意：题设水桶被人“匀速”提起，因而人提水用的力F即为水桶的重力 mg。 习题39 一质量为m的地球卫星，沿半径为3RE的圆轨道运动，RE为地 球半径。已知地球的质量为mE。求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势 能；(3)卫星的机械能。 解：(1) 根据卫星作圆周运动的条件有 可得卫星的动能为 (2) 由引力势能公式，可得卫星的势能为 (3) 卫星的机械能为 习题310 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距 离r按F=k/r3的规律而变化，其中k为常量。试求两粒子相距为r时的势 能。(设力为零的地方势能为零) 解：依题意，势能零点应在无穷远 点。设其中一个粒子不动，另一个粒子 在其排斥力作用下运动，如图所示。根 据势能公式，可以求得两粒子相距为r 时的势能为 粒子1 粒子2 题解310图 注：势能公式中的积分路径可以是任意的，为了积分方便，我们选择 沿矢径的方向直到无穷远点的直线作为积分路径。 习题311 质量为m，速率为v的小球，以入射角斜向与墙壁相撞，又 以原速率沿反射角方向从墙壁弹回。设碰撞时间为，求墙壁受到的平均 冲力。 解法：以撞击点为原点，水平向右为X轴，沿墙壁向下为Y轴。取 小球为研究对象，根据质点动能定理 m 习题311图 所以小球受到墙壁的平均冲力为 根据牛顿第三定律，墙壁受到小球的平均冲力为 解法：用几何方法求解。参见右面的矢量三角形，可有如下关系 根据质点动量定理，小球受到 的平均冲力大小为 该平均冲力的方向与方向相同，水平向左。由牛顿第三定律，墙壁受到 的平均冲力与此力等大而反向。 习题312 质量M=1.5kg的物体，用一根长为 l =1.25m的细绳悬挂在天 花板上，今有一质量为 m =10g的子弹以v0=500m/s的水平速度射穿物 体，刚穿出物体时子弹速度的大小v =30m/s，设穿透时间极短。求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2) 子弹在穿透过程中所受的冲 量。 解：(1) 子弹打击过程动量守恒 习题312图 l M m 解得 对物体 由、可得 N (2) 对子弹应用动量定理可有 Ns 习题313 一块木料质量为45kg，以8km/h的恒速向下游漂动，一只 10kg的天鹅以8km/h的速率向上游飞动，它企图降落在这块木料上面， 但在立足未稳时，它又以相对于木料2km/h的速率离开木料，向上游飞 去。忽略水的摩擦，木料的末速度为 。 解：由木料与天鹅组成的系统动量守恒 式中M是木料的质量，m是天鹅的质量，V是天鹅落到木料上前木料的速 度，是天鹅飞离木料后木料的速度，u是天鹅飞离木料时相对于木料的 速度。由上式可以解得木料的末速度为 习题314 质量m=2kg的质点在力F=12t(SI)的作用下，从静止出发沿X 轴正方向作直线运动，求前三秒内该力所作的功。 解：由动量定理，我们有 所以 又据动能定理可得 习题315 倔强系数为k的轻弹簧，一端与倾角为的斜面上的固定挡板A 相接，另一端与质量为m的物体B相连。O点为弹簧没有连物体原长时的 端点位置，a点为物体B的平衡位置。现将物体B由a点沿斜面向上移动 到b点(如图所示)。设a点与O点，a点与b点之间距离分别为x1和x2，则在 此过程中，由弹簧、物体B和地球组成的系统势能的增加为 (A) (B) (C) (D) 解：取弹簧原长为弹性势能零点， 取初态a点为重力势能零点。系统初态 势能为 a b A B k O 习题315图 系统末态势能为 所以系统势能的增加为 因此，应当选择答案(C)。 习题316 在如图所示的系统中(滑轮质量不计，轴光滑)，外力通过不 可伸长的绳子和一倔强系数k=200N/m的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体。 物体的质量M =2kg，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下20cm的过 程中，力所作的功为(重力加速度g取10m/s2) (A) 2J。 (B) 1J。 (C) 3J。 (D) 4J。 (E) 20J。 解：使物体离地之前，外力是克服弹 性力而作功。假设物体离地之前弹簧伸长 了x0，则该伸长量x0满足下式 20cm M k 习题316图 即 当物体离地以后，外力只是克服 重力而作功。因此，在把绳子拉 下20cm的整个过程中，力所作的 功应为上述两部分功之和，即 所以，应当选择答案(C)。 习题317 如图，一倔强系数为k的轻弹簧水平放置，左端固定，右端 与桌面上一质量为m的木块相连，用一水平力F向右拉木块而使其处于 静止状态。若木块与桌面间的静摩擦系数为，弹簧的弹性势能为E，则 下列关系中正确的是 (A) 。 (B) (C) 。 (D) 解：木块静止可分为两种情况：一是弹性力较小，弹性力和静摩擦 力一起克服外力而达到力学平衡，这时上述三力的关系为 二是弹性力较大，外力和静摩擦力一 起克服之而达到力学平衡，这时上述三 力的关系为 m 习题317图 由、分别解得 ， 因此，弹簧的弹性势能应该在下述范围内 即 所以，应当选择答案(D)。 习题318 倔强系数为k的轻弹簧，一端 固定，另一端与桌面上的质量为m的小 球B相连接，推动小球，将弹簧压缩一段 距离L后放开。假定小球所受的滑动摩擦 力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与 静摩擦系数可视为相等。试求：L必须满 足什么条件时，才能使小球放开后就开 始运动，而且一旦停下来就始终保持静 止状态。 x B L O 习题318图 k B 解：小球在现在位置能开始运动的条件为 小球运动到x处而静止的条件为 使小球停在x处且保持静止的条件为 联立以上三式求解可得 这就是L所应当满足的条件。 A B A0 A1 A2 A3 习题319图 习题319 质量为m的平板A(体 积不计)，用竖立的弹簧支持而处 在水平位置，如图。从平台上投 掷一个质量为m的球B，球的初速 为v，沿水平方向。球由于重力作 用而下落，与平板发生完全弹性 碰撞，且假定平板是光滑的。则 球与平板碰撞后的运动方向应为 (A) A0方向。 (B) A1方向。 (C) A2方向。 (D) A3方向。 解：小球与平板组成的系统在水平方向动量守恒，小球与平板碰撞 后小球仍旧保持原来的水平速度；在竖直方向，由于是完全弹性碰撞而 且小球与平板的质量相等，因而碰撞后两者交换速度，即碰后小球竖直 方向的速度为零。综合上述分析可知，碰撞后小球以原水平速度v向右 运动。所以应该选择答案(C). 习题320 水平小车的B端固定一弹簧，弹簧自然长度时，靠在弹簧上 的滑块距小车A端为L，已知小车质量M =10kg，滑块质量 m =1kg ，弹簧 的倔强系数为k=110N/m， L=1.1m，现将弹簧压缩 l=0.05m并维持小 车静止，然后同时释放小车和滑块，忽略一切摩擦，求： (1) 滑块与弹簧刚刚分离时， 小车及滑块相对地的速度各为多 少？ m k A B L 习题316图 (2) 滑块与弹簧 分离后，又经多少时 间滑块从小车上掉下 来？ 解：(1) 设滑块与弹簧分离时，小车及滑块的对地速度分别为V和 v，则有 解出V和v并代入已知数据可得 v=0.5m/s，V=0.05m/s (2) 滑块相对于小车的速度 m/s s 习题321 两个质量分别为m1和m2的木块A和B，用一个质量忽略不 计、倔强系数为k的弹簧连接起来，放置在光滑的水平面上，使A紧靠墙 壁，如图所示。用力推木块B使弹簧压缩x0，然后释放。已知 m1=m，m2=3m。求： (1) 释放后，A、B两木块速度相等时瞬时速度的大小； (2) 释放后，弹簧的最大伸长量。 解：(1) 释放后，恢复到原长时，A将离开墙。设此时B的速度为， 由机械能守恒有 A B k m1 m2 习题321图 由此式解得 当A离开墙后，系统的机械能、动量均守恒： 令v1=v2，则有 (2) 当弹簧有最大伸长量时，A、B两者速度相等，即有 将上式代入式可得 习题322 如图所示，一质量为M的木块 置于倔强系数为k的弹簧上，系统处于静 止状态。若一团质量为m的橡皮泥自木块 上方h高度处自由下落，与木块粘在一起 运动，试证明弹簧的最大弹性势能为 m h k M 习题322图 x 。 解：橡皮泥与木块碰撞过程动量守恒 解得碰撞后粘在一起的两者共同向下运动的速度为 设它们下降距离x后而停止，在该下降过程系统机械能守恒 式中x0为碰撞前弹簧的初始压缩量，其大小满足 由式可得 把式和式代入上式最后得 证毕。 习题323 如图，两个带理想缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和 m2，B不动，A以速度与B碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的倔强系数分别 为k1和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为 多大？(弹簧质量略去不计) 解：两车相对静止时它们具有相同的速度，设此速度为v，由动量 守恒有 k1 k2 A m1 B m2 0 习题323图 若设两车间的弹簧缓冲器的压缩量分别为x1和x2，则由机械能守恒得 两车间的作用力 联立以上三式最后可得 习题324 如图所示，质量M=2.0kg的笼 子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置， 弹簧伸长x0=0.1m，