信号与系统分析第四章部分答案许信玉.pdf

第四章连续时间系统的复频域分析 1 习题四习题四 42求下列信号的单边拉氏变换，并注明收敛域。 （1） t e 2 1 解：dteesF stt = 0 2 )1 ()(dteedte sttst = 0 2 0 2Re 2 11 2 11 0 )2( 0 + = + += + s ss e s e s tsst （2） t et 2 )( 解：dteetsF stt = 0 2 )()(dteedtt stt = 0 2 0 )( 2Re 2 11 2 1 1 0 )2( + = + += + s ss e s ts （3） tt ee 22 + 解：dteeesF sttt = 0 22 )()(dteedtee sttstt = 0 2 0 2 2Re 2 1 2 1 2 1 2 1 0 )2( 0 )2( + = + + = + s ss e s e s tsts （4）tt2sin32cos+ 解：dtettsF st += 0 )2sin32(cos)( dteee j dteee sttjtjsttjtj += 0 22 0 22 )( 2 1 3)( 2 1 + + + = + + 0 )2( 0 )2( 0 )2( 0 )2( 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 tjstjs tjstjs e js e jsj e js e js 第四章连续时间系统的复频域分析 2 0Re 4 6 4 2 3 4 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 222 + = + + = + + + = s s s ss s jsjsjjsjs 48已知因果信号)(tf的象函数为)(sF，求下列)(sF的原函数)(tf的初值)0( + f和 终值)(f。 （1） 32 12 )( 2 + + = ss s sF 解：2 32 12 lim)(lim)0( 2 = + + = + ss s sssFf ss 0 32 12 lim)(lim)( 2 00 = + + = ss s sssFf ss （2） 126 2 )( 2 + = ss s sF 解：1 126 2 lim)(lim)0( 2 = + = + ss s sssFf ss 0 126 2 lim)(lim)( 2 00 = + = ss s sssFf ss （3） 2 )2( 12 )( + + = ss s sF 解：0 )2( 12 lim)(lim)0( 2 = + + = + ss s sssFf ss 4 1 )2( 12 lim)(lim)( 2 00 = + + = ss s sssFf ss 第四章连续时间系统的复频域分析 3 （4） 4 12 )( 2 + = s s sF 解：2 4 12 lim)(lim)0( 2 = + = + s s sssFf ss 终值不存在。 49求下列象函数的单边拉氏逆变换。 （1） 34 1 2 2 + + ss s 解：因为 1 1 3 5 1 ) 1)(3( 24 1 34 24 1 34 1 22 2 + + + = + + = + + = + + ssss s ss s ss s 所以，其单边拉氏逆变换为)()5()()( 3 teettf tt += （2） 23 1 2 + ss s 解：原式= 1 2 2 3 )2)(1( 1 + + = + ssss s 所以，其单边拉氏逆变换为)()23()( 2 teetf tt = （3） )4( 2 2 +ss 解：原式= 2222 22 1 2 1 2 3 2 1 + = + + s s sss 所以，其单边拉氏逆变换为)()2cos1 ( 2 1 )(tttf= 第四章连续时间系统的复频域分析 4 （4） )52( 5 2 + + sss s 解：原式= 222 2) 1( 11 52 11 + + = + + s s sss s s 所以，其单边拉氏逆变换为)()2cos1 ()(ttetf t = （5） ) 3)(1( 3 2 + + sss s 解：原式= 3 2 1 21 + + + sss 所以，其单边拉氏逆变换为)()21 ()( 3 teetf tt += （6） ) 1( 1 2 +ss 解：原式= 1 111 2 + + sss 所以，其单边拉氏逆变换为)()1()(tettf t = 411下列象函数的原函数)(tf是有始周期信号（起始时刻为0=t） ，求周期T并写出 )(tf的函数表达式（可用)(tf在第一个周期内的函数)( 0 tf表示） 。 （1） s e 2 1 1 + 解：原式= s s e e 4 2 1 1 ， 第四章连续时间系统的复频域分析 5 因为周期信号 = = 0 0 )()( n T nTtftf的拉氏变换为 sT T e jFjF = 1 1 )()( 0 所以，此信号的周期为4=T，)2()()( 0 =tttf 故，)(tfT的表达式为 = = = 00 0 )42()4()()( nn T ntntnTtftf （2） )1( 1 s es + 解：原式= s s es e 2 1 11 所以，此信号的周期为2=T，) 1()()( 0 =tttf 故，)(tfT的表达式为 = = = 00 0 )21()2()()( nn T ntntnTtftf （3） )1)(1( )1( 2s s es e + + 解：原式= s s es e + + 1 1 1 1 2 所以，此信号的周期为=T， )()(sin)()sin()(sin)( 0 =+=ttttttttf 故，)(tfT的表达式为 = = 0 )()()(sin)( n T ntttttf （4） )1)( )1( 422s s es e + + 第四章连续时间系统的复频域分析 6 解：原式= s s es e s 42222 1 1 + + + 所以，此信号的周期为4=T， ) 1()(cos) 1() 1(cos)(cos)( 0 =+=ttttttttf 故，)(tfT的表达式为 = = 0 )4() 1()(cos)( n T ntttttf 412试用拉氏变换分析法，求解下列微分方程所描述系统的零输入响应、零状态响应 和全响应： （1）)()(2)(3)(tetytyty=+ ，1)0(= y，2)0(= y，)()(tte= （3）)(4)()(2)(3)(tetetytyty+=+ ，1)0(= + y，3)0(= + y，)()(tte= 解： （1）对微分方程求拉氏变换，有 )()(2)0()(3)0()0()( 2 ssEsYyssYysysYs=+ 23 )0(3)0()0( )( 23 )( 22 + + + + = ss yyys sE ss s sY 其中，)( 23 )( 2 sE ss s sYzs + =， 23 )0(3)0()0( )( 2 + + = ss yyys sYzi 将1)0(= y，2)0(= y， s sE 1 )(=代入上两式，有 2 1 1 1 )2)(1( 1 23 1 )( 2 + + = + = + = ssssss sYzs ()()( 2 teety tt zs = 第四章连续时间系统的复频域分析 7 2 1 23 1 )( 2 + = + + = sss s sYzi )()( 2 tety t zi = （2） 先求系统的零输入响应。 根据系统微分方程，可得系统函数为 23 4 )( 2 + + = ss s sH 根据)()()(sEsHsYzs=，有 2 1 1 321 23 4 )( 2 + + + = + + = ssssss s sYzs 所以，()(32)( 2 teety tt zs += 求零输入响应：由零状态响应可得，0)0(= +zs y，1)0(= +zs y， 因为1)0(= + y，3)0(= + y，所以 1)0()0(= +zizi yy，2)0()0(= +zizi yy 对系统微分方程，在零输入情况下求拉氏变换，可得： 23 )0(3)0()0( )( 2 + + = ss yyys sYzi= 2 1 23 1 23 32 22 + = + + = + + sss s ss s 所以，)()( 2 tety t zi = 413一个 LTI 连续系统的系统函数为 34 2 )( 2 0 + + = ss s HsH， 0 H为常数，已知该系 统阶跃响应的终值为 1。 （1）写出该系统的微分方程； 第四章连续时间系统的复频域分析 8 （2）求系统的冲激响应)(th。 解： （1）因为阶跃响应的拉氏变换为 s sHsG 1 )()(= sss s H 1 34 2 2 0 + + 其终值为 0 2 0 00 3 2 34 2 lim)(limH ss s HssG ss = + + = ，所以， 2 3 0 =H。 即系统函数为 34 2 2 3 )( 2 + + = ss s sH，所以，此系统的微分方程为： )(6)(3)(6)(8)(2tetetytyty+=+ （3）因为 34 2 2 3 )( 2 + + = ss s sH，对其求拉氏逆变换即可得到冲激响应函数 3 1 4 3 1 1 4 3 )3)(1( 2 2 3 34 2 2 3 )( 2 + + + = + + = + + = ssss s ss s sH 所以，)()( 4 3 )( 3 teeth tt += 415已知系统框图如题 415 图所示，试写出各系统的系统函数)(sH和描述系统的微 分方程，并求其单位冲激响应)(th。 （a）（b） 第四章连续时间系统的复频域分析 9 （c）（d） 题 415 图 解： （a）根据系统框图，可写出系统函数为 1 4 )( + = s s sH 因为 1 5 1 1 4 )( + = + = ss s sH，所以)(5)()(tetth t = 系统微分方程为)(4)()()(tetetyty=+ （b）根据系统框图，可写出系统函数为 34 43 )( 2 2 + + = ss ss sH 系统微分方程为)(4)(3)()(3)(4)(tetetetytyty+ =+ 因为 3 2 1 3 1 ) 3)(1( 7 1)( + + + = + + = ssss s sH， 所以)()32)()( 3 teetth tt = （c）根据系统框图，可写出系统函数为 44 )( 2 + = ss s sH 系统微分方程为)()(4)(4)(tetytyty=+ 因为 22 )2( 2 2 1 )2( )( + + = + = sss s sH，所以)()21 ()( 2 tetth t = 第四章连续时间系统的复频域分析 10 （d）根据系统框图，可写出系统函数为 64 3 )( 2 + + = ss s sH 系统微分方程为)(3)()(6)(4)(tetetytyty+=+ 因为 2)2( 1 2)2( 2 2)2( 3 )( 222 + + + + = + + = ss s s s sH， 所以)()2sin 2 1 2(cos)( 2 ttteth t += 417一个 LTI 连续系统如题 417 图所示，已知 s sH 1 )( 1 =，系统的阶跃响应 )()()(tettg t +=，试求)( 2 th。 题 417 图 解：因为 ) 1( 1 1 11 )()()()( 2 2 2 + + = + +=+= ss ss ss sGtettg t ，即 ) 1( 1 )( 2 + + = ss ss sH， 根据系统框图，可写出复合系统的系统函数为 )()()(1)( 211 sHsHsHsH+= 即有，)( 11 1 ) 1( 1 2 2 sH ssss ss += + + ，整理得： 1 1 1)( 2 + = s sH， )()()( 2 tetth t =。 第四章连续时间系统的复频域分析 11 418一个 LTI 连续系统如题 418 图所示，已知 s sH 1 )( 1 =， s esH =)( 2 。 （1）求系统的冲激响应)(th； （2）若激励) 1()(=tte，求零状态响应。 题 418 图 解：根据系统框图，可写出系统函数为)()()()( 211 sHsHsHsH= 因为， s sH 1 )( 1 =， s esH =)( 2 ，所以 s e ss sH = 11 )(。 （1）因为)()(sHth，所以，) 1()()(=ttth。 （2）因为阶跃响应的象函数)1 ( 11 )()( 2 s e ss sHsG = 则此系统的阶跃响应为：) 1() 1()()(=tttttg 根据线行时不变性，可得当激励) 1()(=tte时的求零状态响应为： )2()2() 1() 1()(=tttttyzs 419在如题 419 图所示的RLC系统中，已知4)(=tusV，= 2R，1=LH ， 2 . 0=CF。在0=t时将开关打开（之前电路已达到稳态） 。试利用s域的电路模型求响应电 流)(ti。 第四章连续时间系统的复频域分析 12 题 419 图 解： （1）先求电感、电容的初始值 根据电路可知：2)0(= L iA，0)0(= C uV。 画出0t时电路的 S 域模型如下图所示： 根据 S 域模型，列回路方程，有 s sI s s 4 2)() 5 2(+=+ 4) 1( 2 4) 1( ) 1(2 4) 1( 2) 1(2 52 42 )( 2222 + + + + = + + = + + = ss s s s ss s sI 求逆变换，得：)()2sin2(cos2)(ttteti t += 428LTI 连续系统分别如题 428 图所示。 （1）为使系统稳定，求k的取值范围； （2）求3=k时系统的冲