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文档简介
,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法,(1) 分割,相应地此曲顶,柱体分为n个小曲顶柱体.,(用 表示第i个子域的面积) .,将域D任意分为n个子域,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,步骤,.求平面薄片的质量,将D分割成n个小块,(2)近似代替,(1) 分割,(3)求和,(4)取极限,二、二重积分的概念,这和式,则称此,零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于,的极限存在,极限为函数,二重积分,记为,即,(4),积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,(3)可积的必要条件:若f(x,y)在D上可积,则 f(x,y)在D上有界.,(2)可积的充分条件:若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上可积.,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,例 设D为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知，,是上半球面,上半球体的体积：,R,D,性质(线性性质),（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质2,对区域具有可加性,性质3,若 为D的面积，,性质4,若在D上,特殊地,则有,性质5,性质6,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,例,的值= ( ).,为非正,B,解,选择题,比较,(D) 无法比较.,C,性质4(比较性质),的大小,则( ),(A),(B),(C),(D),提示:,B,是有界闭区域D:,上的,连续函数,不存在.,利用积分中值定理.,补充,在分析问题和算题时常用的,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数.,性质7,则,D1为D在第 一象,限中的部分,对称性质,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于,这个性质的几何意义如图:,如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f(x,y)关于坐标x,则,为偶函数,则,类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在,第一象限中的部分,设D为圆域(如图),0,0,D1为上半圆域,D2为右半圆域,?,解,由性质得,例,今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意,被积函数的奇偶性.,积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,D1,D2,D3,D4,记 I=,则I= I1+ I2, 其中,I1=,I2=,而 I1 =,D1与D
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