模式识别随机向量的概率.ppt

复习1 随机向量的概率,这一章复习一些概率和随机变量/向量的概念，这些对于后面的学习是很重要的,一. 事件的概率,令A、B、C 表示事件，这些事件的概率是0，1间的实数，记为PrA、PrB、PrC 必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 对任意事件A， （对立事件）,A和B同时发生的概率,如果A1，A2，AM是两两互斥的完备事件组，则,二. 概率分布和密度函数 1. 单个随机向量的分布和密度函数,令X是一个随机向量，它的每一分量都是一个随机变量。 令 是X的一个取值，其中 都是固定的实数值,则事件：,的概率是 的函数。这个函数称为随机向量x的分布函数。定义为：,由上面分布函数的定义，显然有：,概率密度函数定义为分布函数对所有分量的导数：,概率分布函数和密度函数之间还满足如下的积分关系：,由上式和前面的式子，还有：,对于事件： 有：,下面看看在某一点的小邻域的概率：,上式近似成立的条件是： 要充分小，以使 的变化较小,这意味着，在 点的概率密度正比于随机向量 落在附近的小邻域内的概率。密度函数越大，这个概率越大 。 但 等于 的概率为0。（连续时） 容许奇异时，也有可能,2.随机向量的联合分布和密度函数,令X和Y是随机向量，可以把前面定义的对单个随机向量的分布和密度函数的概念推广到X和Y的联合概率分布和密度函数上去。 实际上，单个随机向量是它的各个分量的联合，只要再扩展到Y就行了,令 是一个随机向量， ， 是 的一个实现。 则随机向量 和 的联合分布函数定义为联合事件 的概率：,的联合密度函数定义为：,和,上式的一个等价关系是：,由定义，下面的等式成立：,(a),(b),(c),(d),由（b），有下式：,（c）和（d）意味着: x和y的概率密度可以通过对x和y的联合概率密度的积分得到：,以上两式得到的称为X和Y的边缘密度函数。,联合分布的随机向量x、y的另一个重要关系是：,在 附近，同时 在 附近小区域内的概率近似等于 和小区域体积,的积,例1：一个两维随机向量和一个一维随机变量的联合密度函数：,求事件 的概率和边缘密度： ，,解：1.,注意：不要忘记积分区间,2. 边缘密度为：,在上面的计算中，要注意积分的上下限。,密度函数 也可以用对分布函数 求导而得到,3. 随机向量和事件的联合分布和密度函数,一个随机向量 和一个事件A的联合分布函数定义为：,它是 的函数,联合密度函数定义为：,根据定义，下面的关系成立：,事件 的联合概率为：,如果A1，A2，AM是两两互斥的完备事件集，则边缘分布函数：,边缘密度函数为：,三. 条件概率和贝叶斯规则,1. 事件的条件概率 令A、B是两个随机事件，B发生后A发生的条件概率为：,如果 ，则称A和B是统计独立的。这时由（1）式有：,（1）,2. 条件分布和密度函数,由（1）式的基本形式，可以推导出下面的几种条件分布和密度函数。下面的公式推导和无条件概率分布与密度函数相似，不再多讲。 （1）以一个事件为条件的分布和密度函数 若A是事件 ，B是另一个事件，则,上式两边微分，可得到密度函数,(2) 以随机向量为条件的一个事件的概率 令A是任一事件，B是事件,则 在小区域内，A发生的概率为：,(3) 随机向量的条件密度函数,令A是事件 , B是事件 则由前面的定义和公式有：,在 发生后 的条件密度定义为：,当A和B对所有的 和 的值是独立的时，, 因此有：,3. 贝叶斯公式,由于事件A和B的联合概率等于事件B和A的联合概率，所以由条件概率公式有：,（1）,上式称为Bayes公式。是概率和统计中非常重要的一个公式。通过适当定义事件A和B，贝叶斯公式可以有不同的形式。例如：,（1）如果B是事件 则贝叶斯公式的形式为：,（2）,如果 是两两互斥且完备的事件组A1，A2，AM中的一个事件，则 （最优模式分类）,（2）,（3）,(3)如果B是事件 ，A是 事件，则贝叶斯公式的形式为：,(4),由边缘密度的定义，还可写为下式：,(5),上面的几种贝叶斯公式对统计模式识别都是非常重要的,如(5)式， 称为先验概率，随机向量X和Y间有某种关系，在X发生后Y的密度函数是对先验概率的一种改善，称为后验概率。,又如（3）式是一个最佳模式分类规则。 是事件 类的先验概率，而 则是 的后验概率。,例：一个两维随机向量的密度函数为：,另一随机向量X，它和Y有关，其条件密度函数为：,求联合密度 ，并计算后验密度,解：1. 联合密度为：,后验概率为：,注意：1. 积分限要注意。 2. 上式没有显式解，要用数值方法求解。,3. 如果Y的先验密度是,则有显式解，是一多元高斯密度,四. 数学期望,一个随机向量X的期望（或称均值）是一个常数向量M，定义为,上式是一个向量形式， 的第 个分量为：,上式对所有的 ， 的分量积分，有：,是边缘密度。,对于随机向量的积的期望，将在复习2中讨论。对于随机向量的各个分量，则和随机变量的定义一样：,性质： 1. 随机向量或变量和的期望等于期望的和； 2. 相互独立的随机变量和的方差等于方差的和,下面考虑只取离散值的随机变量。它没有概率密度函数（除非使用奇异函数）。 则期望 ：,若 是一随机变量，它取离散值 ， 1，2，M。M也可能是无穷的，,方差：,均值和方差是随机变量分布的重要参数。均值分布或密度的中心点，方差则表示了离中心点的分散程度。（分布和密度函数完全刻画了随机向量，而期望和方差刻画了它的主要特征。）,五. 小结,这一章复习了随机事件和随机向量的概率，复习了,统计独立、贝叶斯公式（由条件概率）、随机向量和变量的均值、方差。,应该理解这些定义、概念，理解一些公式推导的思路、思想。 理解分布函数、密度函数和事件概率间的关系。 理解联合概率和条件概率间的区别。 理解独立性及其对概率、分布和密度函数的影响。 掌握Bayes公式的各种形式。,第二章 统计决策理论,最小错误率贝叶斯决策 最小风险贝叶斯决策 NeymanPearson决策（在限定一类错误率的条件下，使另一类错误率最小的两类决策问题） 最小最大决策 序贯决策（Sequential Decision）,关于统计学的一个笑话：,有一个从没带过小孩的统计学家，因为妻子出门勉强答应照看三个年幼好动的孩子。妻子回家时，他交出一张纸条，写道： “擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，累计15次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次”。 统计学真的是这样呆板吗？仅仅收集数据，整理分析，累加平均,