方晓柯《自动控制原理电子教案》第二章 数学模型.ppt

第2章 控制系统的数学模型,2.1 控制系统的运动微分方程,2.2 拉氏变换与反变换,2.3 传递函数,2.4 系统方框图及其化简,2.5 信号流图与梅逊公式,重点：,难点：,2.传递函数的概念、典型环节的传递函数。,实际物理系统，特别是机械系统微分方程的列写。,3.系统框图的建立、化简。,4.梅逊公式的应用。,1.拉氏变换的定义与常见函数的拉氏变换。,1.数学模型：,自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工 作（或基础工作）。,2.建立数学模型的目的：,描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。,3.建模方法：,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,4.常用数学模型,2.1 线性系统的微分方程,微分方程的列写的步骤：,1.确定系统的输入、输出变量；,2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量 所遵循的物理定理写出各微分方程；,3.消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；,4.变换成标准形式。,例： 图为机械位移系统。,整理得:,解:,弹簧弹性力:,阻尼器的阻尼力:,2.1.1机械系统,例： 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。,解:,2.1.2 电系统,用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性性质，即遵循叠加原理。,分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的 系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。,式中： ， ， ， 和 ， ， ， 由系统结构参数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是:,在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用 阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为 ，系统的输出量为 ，则单输入、单输出 阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式 ：,2.2 拉氏变换与反变换,2.2.1 拉氏变换,一.拉氏变换的定义：,L,式中：,表示进行拉普拉斯变换的符号。,注意：,（1）在任一有限区间内， 为分段函数，只能有有限个间断点。,二.几种典型函数的拉氏变换,1.单位阶跃函数的拉氏变换,2.单位脉冲函数(t) 的拉氏变换,单位脉冲函数,单位脉冲函数的性质：,又称单位斜坡函数，其数学表达式为：,3.单位速度函数的拉氏变换,4.单位加速度函数的拉氏变换,5.指数函数 的拉氏变换,6.正弦函数与余弦函数的拉氏变换,三.拉氏变换的主要定理,1.叠加定理,拉氏变换服从线性函数的齐次性和叠加性。,设 ，则 式中： 常数。,（1）齐次性,（2）叠加性,设 ， ，则 两者结合起来，就有:,2.微分定理,同样，可得 的各阶导数的拉氏变换是：,设 ，则 。 式中： 函数 在 时刻的值，即初始值。,式中： ， ， 原函数各阶导数在 时刻的值。,如果函数 及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始件），则 各阶导数的拉氏变换为:,设 ，则 。 式中: 积分 在 时刻的值。,3.积分定理,当初始条件为零时，,当初始条件为零时，,对多重积分是,它表明原函数在 时的数值。,即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。,4.初值定理,5.终值定理,设 ，并且 存在，则,即原函数的终值等于 乘以象函数的初值。,2.2.2 拉氏反变换,拉氏反变换的公式为：,通常将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。,式中： 表示拉普拉斯反变换的符号,求解拉氏反变换的方法：部分分式法,在控制理论中，常遇到的象函数是 的有理分式:,为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有:,部分分式法,式中， ， ， 是 的根，称为 的极点。按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。,1. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换,再根据拉氏变换的叠加定理，求原函数。,式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下：,（2.37）,例1：求 的原函数。,解:首先将 的分母因式分解，则有：,2.含有共轭复数极点时的拉氏反变换,例2: 已知 , 求 。,解：,查拉氏变换表得：,2.2.3 应用拉氏变换解线性微分方程,应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：,(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,(3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。,(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 的代数方程；,2.3.1 传递函数的概念,2.3 控制系统的传递函数,1 .定义,一般系统的传递函数为：,2. 传递函数的性质：,（1）传递函数是s的函数，其中分子表示了系统与外界的联系，分母反映了系统本身的固有特性。,（3）nm，因为实际系统或元件总存在惯性。,（4）传递函数可以有量纲，也可以没有；,（5）物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递 函数。,（2）若输入给定，则系统的响应为：,零状态响应,1.传递函数可写为如下形式：,K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。,2.3.2 传递函数的零点(zero) 和极点(pole),零、极点分布图：,2.传递函数也可分解为如下形式：,首1型,尾1型,式中zi称为零点；pj称为极点； 称为传递系数或根轨迹增益。,1. 极点决定系统的稳定性。,2.3.3 零点和极点对系统性能的影响,稳定性、快速性、准确性,系统极点的形式：,当 时，系统是稳定的。,越大，系统消除误差的速度越快，快速性越好。,影响了自由响应的振荡情况，决定了系统在规定时间内接 近稳态的情况。,系统特征方程的根,当 时，如果自由响应收敛于0，那么系统是稳定的。,必落在复平面的左半平面,2.零点影响各模态在响应中所占比重。,例 具有相同极点不同零点的两个系统 ,分别求零初始条件下的单位阶跃响应。,两个系统的极点为-1、-2，零点分别为：-0.5、-1.3。,解：,2.3.4 典型环节的传递函数,1.比例环节：,2.微分环节：,（1）输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势, 有预告的能力。,特点:,（2）增加系统的阻尼比。,（3）强化噪声。既然对输入有预测能力，那么对噪声也能预测。,因而微分环节常用来改善控制系统的动态性能。,3.积分环节：,（1）输出量取决于输入量对 时间的积累。,（2）输出相对于输入有明显 的滞后，有滞后作用。,特点：,4.一阶微分环节：,5.惯性环节：,6.二阶微分环节：,7.振荡环节：,8.延时环节：,阻尼比,无阻尼振荡频率,（1）当0 1时，输出为一振荡过程，称为振荡环节。,（2）当 1时，输出为一指数上升曲线而不振荡，这时不是 振荡环节。,2.4.1 框图的构成要素,2.4 系统的传递函数方框图及其化简,以图形描述系统信号传递关系的数学模型。,方框图（框图）：,表示对信号进行数学变换。,表示对两个或两个以上信号进行加减运算。,1.方框：,2.比较点：,“+”表示相加，“-”表示相减。,注意：只有相同量纲的量才能比较。,表示同一信号向不同方向传递。,1.框图的建立步骤,(1)根据系统遵循的定律，建立系统的微分方程；,(2)在零初始条件下对微分方程进行拉氏变换，并根据因果关系 绘出相应的框图；,(3）按照信号的传递过程，依次将各框图连接起来，系统输入量 置于左端，输出量置于右端，便得到系统的框图。,3.引出点：,注：同一位置引出的 信号不仅量纲相 同，数值也相等。,2.4.2 框图的建立,方程个数比中间变量多1个,例1 绘出RC电路的框图。,（1）根据电路遵循的定律，列写微分方程：,（2）对上式进行拉氏变换，并绘出相应框图:,解:,（3）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成 RC网络的框图:,反馈线,2.4.3 框图的等效变换法则,2.方框的并联等效,1.方框的串联等效,3. 反馈连接的框图等效,称为开环传递函数,如果 ，称为单位反馈。,称为闭环传递函数,（3）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成 RC网络的框图:,惯性环节（一阶系统）,4.引出点的移动等效,a.引出点前移,C(s)=G(s)R(s),b.引出点后移,加“本身”,加“倒数”,5.比较点的移动等效,a.比较点前移,b.比较点后移,加“本身”,加“倒数”,C(s)=G(s)R(s)-B(s),C(s)=E(s)-B2(s)= R(s)-B1(s)-B2(s) = R(s)-B2(s)-B1(s),6.相邻的相加点可互换位置或合并,7.相邻的引出点可互换位置或合并,2.4.4 框图的化简,（1）判断有无交叉情况。,（2）如无交叉情况，利用等效法则1、2、3化简即可。,（3）如有交叉情况，先利用等效法则4、5、6、7消去交叉， 然后按照步骤2化简即可。,1.框图化简步骤,a,b,2.4.5 反馈系统的传递函数,1.系统开环传递函数,断开系统的主反馈通路。把G1(s)G2(s)H(s)之积称为该系统的开环传递函数。,2.R(s)作用下的闭环传递函数,令N(s) =0，此时C1(s)对R(s)的闭环传递函数为：,3. N(s)作用下系统的闭环传递函数,令R(s) =0，此时C2(s)对N(s)的闭环传递函数为:,4.系统的总输出,根据线性叠加原理，系统的总输出等于各外作用引起的输出的 总和。,5.闭环系统的误差传递函数,闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，以误差信号作为输出量时的传递函数为系统误差传递函数。,令N(s) =0，此时E(s)对R(s)的误差传递函数为：,令R(s) =0，此时E(s)对N(s)的误差传递函数为：,根据叠加原理，系统总误差为:,对于一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递 函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数不同，但 系统传递函数的分母不变，因为分母反映了系统本身的固有特性， 与外界无关。,2.5 系统的信号流图及梅逊公式,对于复杂的系统，方框图的简化过程是冗长的。梅逊(S.J. Mason)提出了一种信号流图法，可以不需要经过任何简化，直 接确定系统输入和输出变量间的联系，再利用梅逊公式求出系统 的传递函数。,一、信号流图及其术语,1.节点: 表示变量或信号的点。用“”表示，在旁边注上信号的代号。例如： 、 和 是图中的节点。,2.输入节点:它是只有输出的节点，也称源点。例如，图中 是一个输入节点。,3.输出节点:它是只有输入的节点，也称汇点。例如，图中 为输出节点。,4.混和节点:是既有输入又有输出的节点。例如，图中 是一个混和节点。,5.支路:定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路的传递函数。例如，图中从节点 到 为一支路，其中 为该支路的增益。,6.通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,7.前向通道：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于 一次的通路。,8.回路：始端与终端重合且与任何节点相交不多于一次的通道。,9.不接触回路：没有任何公共节点的回路称为不接触回路。,二、信号流图的绘制,注