高考数学空间立体几何第七章第五节.ppt

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,1.直线与平面垂直 (1)定义 条件：直线l与平面内的_一条直线都垂直. 结论：直线l与平面垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理,相交,平行,la,lb,a,b,ab=O,a,b,2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在 平面上的射影所成的_，叫做这 条直线和这个平面所成的角.如图，_就是斜线AP与 平面所成的角. (2)线面角的范围：_.,锐角,PAO,3.平面与平面垂直 (1)二面角 定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做_. 如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_.,二面角的面,-l-,P-AB-Q,二面角的平面角 如图，过二面角-l-的棱l上一 点O在两个半平面内分别作BOl， AOl,则_就叫做二面角-l-的平面角. 二面角的范围 设二面角的平面角为，则_.,AOB,0,(2)平面与平面垂直 定义： 条件：两相交平面所成的二面角为_. 结论：这两平面垂直.,直二面角,判定定理和性质定理：,垂线,l,l,=a,l,la,交线,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)若直线a平面，直线b,则直线a与b垂直.( ) (3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0， . ( ) (4)二面角是指两个相交平面构成的图形.( ),(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),【解析】(1)错误.直线l与平面内的无数条直线都垂直时， 直线l与平面可平行，可相交，直线l也可在平面内. (2)正确.由b可得b平行于内的一条直线，设为b, 因为a,所以ab，从而ab. (3)错误.异面直线所成角的范围是(0， ,而二面角的 范围是0，.,(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (5)错误.若平面平面，则平面内的直线l与可平行， 可相交，也可在平面内. (6)错误.平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线， 不能保证该直线垂直于此平面，故不能推出. 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.若m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) (A)若m，n，则mn (B)若mn,m,则n (C)若m,，则m (D)若=m,mn,则n,【解析】选B.A选项中，m与n可平行、相交、异面；C选项中，m可以平行于，m也可以在内；D选项中，n可能在内或n或与相交.,2.设，为不重合的平面，m,n为不重合的直线，则下列命题正确的是( ) (A)若,=n,mn,则m (B)若m,n,mn,则n (C)若n,n,m,则m (D)若m,n,mn，则 【解析】选C.C选项中,n,n,. 又m,m.,3.设a,b,c表示三条不同的直线，表示两个不同的 平面，则下列命题中不正确的是( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选D.由a,ba可得，b与的位置关系有: b,b，b与相交，所以D不正确.,4.已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”). 【解析】由条件知，当m时，一定有；但反之不一定成立.故填必要不充分. 答案：必要不充分,5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_. 【解析】如图,取AC的中点O， 连接DO，BO，则DOAC，BOAC， 故DOB为二面角的平面角，从而 DOB=90.设正方形边长为1， 则DO=BO= ，所以DB=1，故ADB为等边三角形， 所以DAB=60. 答案:60,考向 1 直线与平面垂直的判定和性质 【典例1】(1)(2013海淀模拟)设l,m,n为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是( ) 若l,m,，则lm; 若m,n,lm,ln,则l; 若lm,mn,l,则n; 若lm,m,n,，则ln. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,(2)(2013鹰潭模拟)如图， 三棱锥P-ABC中，PA底面ABC， ABBC，DE垂直平分线段PC，且 分别交AC，PC于D，E两点,PB=BC， PA=AB. 求证：PC平面BDE； 若点Q是线段PA上任一点，判断BD，DQ的位置关系，并证明你的结论； 若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.,【思路点拨】(1)根据线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断. (2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的长度.,【规范解答】(1)选B.对于，直线l,m可能互相平行，不 正确；对于，直线m,n可能是平行直线，此时不能得l， 不正确；对于，由“平行于同一条直线的两条直线平行” 与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直 于这个平面”得知，正确；对于，由lm,m得l, 由n,得n，因此有ln,正确.综上所述，其 中命题正确的个数是2，故选B.,(2)DE垂直平分线段PC，PB=PC，DEPC，BEPC， 又BEDE=E， PC平面BDE. BDDQ.证明：由得，PCBD. PA底面ABC，PABD. 又PCPA=P， BD平面PAC， 当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.,PA=AB=2,PB=BC= ABBC,AC= PC=4，CE=2， 且 CDECPA， 由可知：BDDE. ,【互动探究】本例题(2)若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ平面PAC”，如何证明？ 【证明】由(2)的解法可知BD平面PAC. 又BD平面BDQ, 平面BDQ平面PAC.,【拓展提升】 1.判定线面垂直的四种方法 方法一：利用线面垂直的判定定理. 方法二：利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”. 方法三：利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”. 方法四：利用面面垂直的性质定理.,2.线面垂直性质的重要应用 当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法. 【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.,【变式备选】如图，几何体 ABCDPE中，底面ABCD是边长为 4的正方形，PA平面ABCD， PAEB，且 (1)证明：BD平面PEC. (2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.,【证明】(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF， EBPA，且EB= PA， 又OFPA，且OF= PA， EBOF，且EB=OF， 四边形EBOF为平行四边形， EFBD. 又EF平面PEC，BD 平面PEC， BD平面PEC.,(2)连接BP， EBA=BAP=90, EBABAP, PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE. PA平面ABCD，PA平面APEB， 平面ABCD平面APEB. BCAB，平面ABCD平面APEB=AB， BC平面APEB，BCAE.又BCPB=B， AE平面PBC.G为BC上的动点， PG平面PBC，AEPG.,考向 2 面面垂直的判定与性质 【典例2】(2013惠州模拟)如图所示， ABC为正三角形，CE平面ABC， BDCE，CE=CA=2BD，M是EA的中点. 求证： (1)DE=DA. (2)平面BDM平面ECA.,【思路点拨】(1)由于CE=2BD，故可考虑取CE的中点F，通过证明DEFADB来证明DE=DA. (2)证明面面垂直，应先证明线面垂直.,【规范解答】(1)取CE的中点F，连接DF. CE平面ABC， CEBC. BDCE，BD= CE=CF=FE， 四边形FCBD是矩形，DFEC. 又BA=BC=DF，RtDEFRtADB， DE=DA.,(2)取AC中点N，连接MN，NB， M是EA的中点，MN CE. 由BD CE,且BD平面ABC，可得四边形MNBD是矩形， 于是DMMN.DE=DA，M是EA的中点， DMEA.又EAMN=M， DM平面ECA，而DM平面BDM， 平面BDM平面ECA.,【拓展提升】 1.面面垂直的证明方法 面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.,2.面面垂直的性质应用技巧 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.,【变式训练】如图，正方形ABCD和 四边形ACEF所在的平面互相垂直， EFAC，AB= ，CE=EF=1.求证： (1)AF平面BDE. (2)CF平面BDE.,【证明】(1)设AC与BD交于点G. 因为EFAG，且EF=1，AG= AC=1， 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AFEG. 因为EG平面BDE，AF 平面BDE， 所以AF平面BDE.,(2)连接FG.因为EFCG，EF=CG=1，且CE=1, 所以四边形CEFG为菱形. 所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC. 又因为平面ACEF平面ABCD， 且平面ACEF平面ABCD=AC， 所以BD平面ACEF且CF平面ACEF， 所以CFBD. 又BDEG=G，所以CF平面BDE.,考向 3 垂直关系的综合应用 【典例3】如图所示，M，N，K分别是 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1 的中点. 求证：(1)AN平面A1MK. (2)平面A1B1C平面A1MK. 【思路点拨】(1)要证线面平行，需证线线平行.(2)要证面面垂直，需证线面垂直.,【规范解答】(1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1=DD1，C1D1CD， C1D1=CD. N，K分别为CD，C1D1的中点， DND1K，DN=D1K， 四边形DD1KN为平行四边形.,KNDD1，KN=DD1， AA1KN，AA1=KN， 四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K. A1K平面A1MK，AN 平面A1MK， AN平面A1MK.,(2)连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ABC1D1，AB=C1D1. M，K分别为AB，C1D1的中点， BMC1K，BM=C1K， 四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C， BC1平面BB1C1C，,A1B1BC1. MKBC1,A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C. MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1C=B1，MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.,【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,【变式训练】如图，已知三棱 锥A-BPC中，APPC，ACBC， M为AB的中点，D为PB的中点， 且PMB为正三角形. (1)求证：DM平面APC. (2)求证：平面ABC平面APC. (3)若BC4，AB20，求三棱锥D-BCM的体积.,【解析】(1)M为AB中点，D为PB中点， DMAP. 又DM 平面APC，AP平面APC, DM平面APC.,(2)PMB为正三角形，且D为PB中点， DMPB. 又由(1)知DMAP，APPB. 又APPC，PBPC=P， AP平面PBC，APBC. 又ACBC，APAC=A，BC平面APC. 又BC平面ABC,平面ABC平面APC.,(3)AB20，MP10，PB10. 又BC4，PC SBCD SPBC PCBC 4= 又DM AP VD-BCMVM-BCD SBCDDM,【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答 【典例】(12分)(2012广东高考) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中， AB平面PAD，ABCD，PD=AD， E是PB的中点，F是DC上的点且 DF= AB，PH为PAD中AD边上的高.,(1)证明：PH平面ABCD. (2)若PH=1，AD= ，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积. (3)证明：EF平面PAB.,【思路点拨】,【规范解答】(1)由于AB平面PAD，PH平面PAD， 故ABPH.1分 又PH为PAD中AD边上的高，故ADPH. 2分 ABAD=A，AB平面ABCD， AD平面ABCD，PH平面ABCD.4分,(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH=1， 故E到平面ABCD的距离 .5分 又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，6分 故 7分 因此 8分,(3)过E作EGAB交PA于G，连接DG. 由于E为PB的中点，G为PA的中点.9分 AD=PD，故DPA为等腰三角形， DGAP. AB平面PAD，DG平面PAD， ABDG.10分 又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，,DG平面PAB.11分 又GE AB,DF AB,GE DF. 四边形DFEG为平行四边形，故DGEF. EF平面PAB.12分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) (A)若m，n，则mn (B)若m，n，则mn (C)若m，n，则mn (D)若m，n，则mn,【解析】选A.由m,可得m或m，又n， 故mn，即A正确；如图(1)，m,n,但mn， 故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m,n, ，但m,n相交，故D错.,2.(2013铜陵模拟)给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面相互平行； 若一个平面内无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选B.正确.由垂直的性质可知 a，b，则ab； 错误，如在正方体ABCD -A1B1C1D1中平 面ABB1A1与平面AA1D1D均与平面ABCD垂直 但平面ABB1A1与平面AA1D1D相交； 错误，如在正方体中的平面ABB1A1中有无数条直线与平面ABCD平行，但平面ABCD与平面ABB1A1不平行. 正确，由线面垂直的定义可知该命题正确，故选B.,3.(2013天津模拟)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_.,【解析】如图，取CD的中点F， SC的中点G，连接EF，EG，FG， 设EF交AC于点H，易知ACEF， 又GHSO，GH平面ABCD， ACGH.又GHEF=H， AC平面EFG. 故点P的轨迹是EFG，其周长为 答案:,4.(2013三明模拟)如图，已知 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直 角梯形，ABDC，ABC=45， DC=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1. (1)求证：AB平面PCD. (2)求证：BC平面PAC. (3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积.,【解析】(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC， 又AB 平面PCD，CD平面PCD， A