大学物理第3章动量与角动量.ppt

第3章 动量与角动量,本章主要内容,3.1 冲量与动量定理 3.2 动量守恒定律 3.3 火箭飞行原理 3.4 质心 3.5 质心运动定理 3.6 质点的角动量和角动量定理 3.7 角动量守恒定律 3.8 质点系的角动量定理 3.9 质心参考系中的角动量,第3章 动量与角动量,第3章 动量与角动量,动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本规律。,动量守恒定律 角动量守恒定律,我们往往只关心过程中力的效果,力对时间和空间的积累效应。,力在时间上的积累效应：,平动,冲量,动量的改变,转动,冲量矩,角动量的改变,力在空间上的积累效应,功,改变能量,牛顿定律是瞬时的规律。,但在有些问题中，,如：碰撞（宏观）、,（微观）,散射,3.1 冲量与动量定理,3.1 冲量与动量定理,瞬时式, 动量, 力的作用可以使动量变化。, 力对时间的积累等于动量增量。,力 对时间间隔 0 t 的冲量为,冲量（对dt）,3.1 冲量与动量定理, 关于冲力,（状态量）,物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力冲力具有作用时间短、量值大的特点，通常是变力。,平均冲力：,冲量可表为,说明： 冲量是矢量，是过程量。,例1.,解：,Attention:,动量是矢量!,质量为m的物体,以初速 从地面抛出,抛射角为30,则从抛出到刚要落地的过程中,(1) ;(2) 的方向为 ,例2.,力 作用在质量m=2kg的物体上,使之从静止开始运动,则物体在3秒末的动量应为 ,解：,由动量定理，有,3.2 动量守恒定律,3.2 动量守恒定律,质点系多个质点组成的系统。（质点的集合）,相加,质点系的总动量每个质点动量的矢量和。即,设第 i 个质点受外力为 ，受质点系其他质点的合力，即内力为,对第 i 个质点应用动量定理：,3.2 动量守恒定律,质点系的动量定理： （积分形式）,定理表述：合外力的冲量等于质点系总动量的增量。,3.2 动量守恒定律,如果质点系所受合外力为零,考虑质点系的动量定理：,动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。,说明： 守恒条件：合外力为零。与内力无关。,3.2 动量守恒定律,动量守恒可以在单一方向上守恒。, 动量守恒定律在惯性系中成立。, 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿定律而成立。,微观粒子的实验（如电子转化为光子）, 动量守恒定律的分量形式：,3.2 动量守恒定律,当,1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。,微分形式？,3.2 动量守恒定律,4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒， 尽管总动量可能并不守恒。,5. 当外力内力且作用时间极短时（如碰撞）,可认为动量近似守恒。,6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在宏观和微观领域均适用。,7. 用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统和条件。,3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。,解：,AB系统，在水平面内,如图，,例3.,光滑水平面上有两个小球A和B，A静止，B以速度 和A碰撞碰后，B的速度大小为 ，方向与 垂直，求碰后A球的运动方向,解：,(1)船砂袋系统：P水平=const., mv0=(m+M)v, v= mv0/(m+M),例4.,质量为M的船静止. 现以水平速度 将一质量为m的砂袋抛到船上，此后两者一起运动. 设阻力与速率成正比，比例系数为k，试求：(1)两者一起开始运动的速率；(2)从开始运动到停止时所走过的距离.,(2)牛：,例5 一辆运煤车以速率 v 从煤斗下面通过，煤从煤斗中以恒定的速率 b = dm/dt 装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为，t 时刻车箱和所载煤的质量为M。如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？,解：以M和dt时间里落到车厢的煤粒dm为质点系。,水平方向运用动量定理：,铅直方向:,略去二阶无穷小量：,解得,解的意义：,例6 一柔软绳长 l ，线密度 r，一端着地开始自由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？,解：在竖直向上方向建坐标，并做受力分析（如图）。,设压力为 N ，应用质点系动量定理,代入 N 的表达式，得,3.3 火箭飞行原理,3.3 火箭飞行原理,粘附 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变 随速度变化 m = m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。,变质量问题（低速，v c）有两类：,下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。,3.3 火箭飞行原理,火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由于无外力作用，动量守恒。,由动量守恒定律,设M为火箭在 t 时刻的总质量，dt 时间喷出dm质量的燃料，相对火箭以u的速度喷射。,t 时刻 总动量,t+dt 时刻 总动量,3.3 火箭飞行原理,积分,火箭受燃料的反冲力为,3.4 质心,3.4 质心,质心质量中心。,质心的定义,质心的位置矢量表为,设一质点系中各质点m1 , m2 , , mN 的空间坐标分别为 (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), , (xN , yN , zN ) 。则质心 C 的坐标定义为,3.4 质心,说明： 质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点的位置无关。,对连续质量的物体，质心位置可用积分式计算：, 重力的着力点重心，就在物体的质心上。,质元dm视为质点,3.4 质心,注意： 1）不太大物体，质心与重心重合 2）均匀分布的物体，质心在几何中心 3）质心是位置的加权平均值，质心处不一定有质量 4）具有可加性，计算时可分解,例7 求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为 M = 5.98 1024 kg 和 m = 7.35 1022 kg ，地球中心与月球中心的距离为 L = 3.84105 km。,解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。 选取坐标如图，原点在地球中心。,例8 求质量均匀分布的半球体的质心位置。,解：由对称性可知，质心在半球体的对称轴（图中z 轴）上，只需算出zC。,如图，取 的薄片dm，设密度为。,即质心到圆心的距离为半径的 。,3.5 质心运动定理,3.5 质心运动定理,质心运动定理,代入质点系的动量定理，有,考虑一质点系，其总动量为,3.5 质心运动定理,1）质点系动量定理微分形式,积分形式,2）质心处的质点（质点系总质量）代替质点系整体的平动,3）若,不变,质心速度不变就是动量守恒（同义语）,（ ）,3.5 质心运动定理,4）,此式说明，合外力直接主导质点系的平动， 而质量中心最有资格代表质点系的平动。 为什么？ 因为只有质心的加速度才满足上式。 只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。,例9 如图所示，一带有四分之一圆弧、质量为M的滑块置于光滑桌面上，圆弧半径为 R。今有一质量为 m的小滑块从圆弧顶端沿圆弧面自由下滑，圆弧面的摩擦力忽略不计。求当小滑块滑至圆弧底端时，大滑块相对桌面移动的距离。,解：大小滑块在水平方向上不受外力，二者组成的质点系的水平动量守恒。,M 运动方向 与 X 轴反向,用质心运动定理如何求解？,3.6 质点的角动量和角动量定理,3.6 质点的角动量和角动量定理,引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。,1.质点的角动量, 角动量的定义： （对点）,设一质点具有动量 ，由惯性系中某一固定点O指向它的位置矢量为 ，则该质点对O点的角动量 为,的大小：,的方向：垂直于 和 构成的平面。,右手螺旋法则,赝矢量,3.6 质点的角动量和角动量定理,注意：, 角动量是矢量。,举例：,圆周运动的质点对圆心的角动量：, 粒子散射实验中， 粒子对固定的重原子核的角动量：, 角动量的分量式：,3.6 质点的角动量和角动量定理,2.质点的角动量定理, 力矩的定义 （对点）,设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为 ，则该质点对O点的力矩 为,的大小：, 角动量定理 （对点）,考虑角动量的变化率：,3.6 质点的角动量和角动量定理,角动量定理 ：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即,注意 ：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。,意义：质点对某定点的角动量的时间变化率等于质点所受合外力对该点的力矩。 说明：质点受力矩，角动量将改变,3.6 质点的角动量和角动量定理,例10 利用抛体运动的速度方程证明角动量定理。,如果对 其他点？,证：速度方程为,例11.,解：,(1) ，方向：沿Z轴正向,质点m=2kg,r=3m, v=4m/s, 又F=2N, =30,则质点对O点的角动量为 ,力 对O点的力矩为 .,(2) ，方向：沿Z轴正向,3.7 角动量守恒定律,3.7 角动量守恒定律,说明： 守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀速直线运动）时，对任何点角动量守恒。,角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。,例12.,已知地球半径R=6378km, L1=439km,L2=2384km.若卫星在A1处的速度V1=8.1km/s，则卫星在A2处的速度V2= .,解：,卫星对地球中心的角动量守恒,于是 V2= V1(R+L1)/(R+L2)= 6.3 km/s,A2处, mV2(R+L2),A1处, mV1(R+L1),3.7 角动量守恒定律,例13 试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同的时间里扫过的面积相等。,证：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）,故 ，角动量守恒。,3.8 质点系的角动量定理,3.8 质点系的角动量定理, 质点系的总角动量,质点系对某点的总角动量定义为：质点系的各质点对该定点的角动量的矢量和，即, 质点系的角动量定理,质点系的角动量定理：质点系的各质点所受外力矩之和等于该质点系总角动量对时间的变化率，即,该定理可以由质点的角动量定理导出。,3.8 质点系的角动量定理,证明：对第 i 个质点应用角动量定理,相加,内力矩之和为零,3.8 质点系的角动量定理, 质点系的角动量守恒定律,质点系的角动量守恒定律：如果质点系所受合外力矩为零，则该质点系的总角动量保持不变。,说明： 质点系的角动量守恒定律比质点的更具普遍意义。 与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于牛顿定律而成立。 如果质点系所受合外力为零，对任何固定点的角动量都守恒。,如果 ，,例14 两个质量都是 m 的小球由一长度 a 的轻质硬杆连结起来，静止于光滑的水平桌面，今有另一质量是m 的 k 倍的小球以速率 v0 ，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上其中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运动速度。,解：以三个小球组成质点系，质点系不受外力，动量和角动量均守恒。,x 方向动量守恒：,对O点的角动量守恒：,解得,质心平动 + 绕质心转动,3.9 质心参考系中的角动量,3.9 质心参考系中的角动量,1. 质心系,质心系是固结在质心上的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,在质心系中考察质点系的运动。,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动；,各质点相对于质心的运动 , 质心参考系,3.9 质心参考系中的角动量,2. 质心系的基本特征,质心系是零动量参考系。,两质点系统在其质心系中，总是具有等值、反向的动量。,3.9 质心参考系中的角动量,3. 质心系中的角动量,O 是惯性系中的一个定点,C 是质心兼质心坐标系原点,对质心,对O点,C 对O,利用关系：,可以证明（自己推导）：,3.9 质心参考系中的角动量,4. 质点系对质心的角动量定理,质心系中质点对质心的角动量定理,3.9 质心参考系中的角动量,这再次显示了质心的,尽管质心系可能不是惯性系，,但对质心系来说，,角动量定理仍然成立。,特殊之处，,同时也表明了选择质心系来讨论,问题的优点。,例15.,如图,在t=0时刻将质量为m的质点由A处静止释放,让其自由下落,则在任意时刻t,质点所受的对原点O的力矩 = ,质点对原点O的角动量 = .,解：, 的大小：mgb， 方向：, 的大小：mgtb， 方向：,思考,若t=0时质点以速度 水平抛出,结果？,例16.,解:,例17. 质量M=3t 的重锤，从高度h=1.5处自由落到受锻压的工件上（图），工件发生变形，如果作用的时间（1）=0.1s，（2） =0.2s。试求锤对工件的平均冲力。,解法一：取重锤为研究对象。在这段时间内，作用在锤上的力有两个：重力W，方向向下；工件对锤的支持力N，方向向上。 此支持力是个变力，在这极短时间内迅速变化，我们用平均支持力 来代替。,自由落体公式，可以求出锤刚接触工件时的速度为,在这极短时间 内，锤的速度由初速度v0变到末速度v=0。如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量定理得到,由此得,将M、h、 的数据代入，求得,重锤对工件的平均冲力 的大小等于工件对锤的平均支持力 所以 ，但方向竖直向下。由上面的计算知道，锤的自重对平均冲力是有影响的。但在第二种情况中，锤对工件的平均冲力比锤的自重要大几十倍，因此，在计算过程中，可以忽略锤的自重的影响。,解法二：动量定理不仅用于锤与工件接触的短暂时间，也可用于锻压时的整个过程。设锤自由落下h高度的时间为t，显然,由此得,这和解法一的结果相同,在这锻压的整个过程中，重力 的作用时间为（t+ )，它的冲量大小等于W(t+ )，方向竖直向下；N 的作用时间为，它的冲量大小为 N ，方向竖直向上。由于重锤在这整个过程的初、末速度均为零，所以它的初、末动量均为零。如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量定理得到,例18. 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及M的物体A和B（图），M大于m。B静止在地面上，当A自由下落h距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体