北京邮电大学出版社线性代数习题答案(习题1-6)

线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社戴斌祥主）编习题一（A类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意.所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子的项。解：D4=由题意有：故D4中含的项为：即为：4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？（1）；解：因为，所以该项带正号。（2）解：因为，所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2). （3）【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由题意知：所以6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 证明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4) 对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算下列n阶行列式.(1) (2) ；(3). (4).【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第一列展开后，得(4) . 即有 由 得 .9. 计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 计算阶行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11. 已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D的值。解：D=，12. 用克拉默法则解方程组.（1） （2）(3) (4) 【解】（1）因为D=；D1=；D2=所以（2）因为D=D1=D2=D3=所以(3)方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解：D= =要使方程组有唯一解，必须D，于是：解得：当不等于1，时，方程组有唯一解。14. 和为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故或时，方程组有非零解. 15. 求三次多项式，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为（B类）1. 已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D= 。解： 令D=2.D3. 写出行列式D4=的展开式中包含和的项。解：令D4=比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，故中含项为：含项为：。4. 已知4阶行列式D4=，试求，其中为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。解：因为D4=所以5. 解方程解：因D=+故由D=0可得：因为=所以6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0 (a,b不同时为0)按题设有则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二（A类）1. 1. 设A=，B=，（1） 计算3A-B，2A+3B；（2） 若X满足A+X=B，求X；（3） 若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求Y.解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，则X=B-A，即X=-=。（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=。2. 计算下列矩阵的乘积.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .3. 设，求(1);(2) ；(3) 吗?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.4. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若， 则； (2) 若， 则或；(3) 若， 则.【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但A0(2) 令,则A2=A,但A0且AE(3) 令则AX=AY,但XY.5. 计算：（1）；（2）（k为正整数）； （3）（k为正整数）.解：（1）=。（2）令Dk=（k为正整数），则当k=2时，D2=；设Dm=成立，则Dm+1=.故有：Dk=.(3) 令Dk=（k为正整数），则当k=2时，有：D2=；假设Dm=成立，则Dm+1=；故有=。6. 设，求|. 解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即 于是有 .7.已知线性变换利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为8. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也为对称阵.9.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A=A,B=B，若AB是对称阵，即(AB)=AB.则 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,则(AB)=BA=BA=AB,所以，AB为对称阵.10. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1) B2是对称矩阵.(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.11. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.12. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.13.求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；(3)； (4)；【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;14. 利用逆矩阵，解线性方程组【解】因,而故15. 证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,则（A*）=(A*)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).16.已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以从变量到变量的线性变换为17.解下列矩阵方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A=;B=.由于故原方程的惟一解为同理(2) X=; (3) X=; (4) X=18. 设，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故19. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)， 证明，；(2) 设， 证明，.【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设那么所以，对一切自然数k，都有而(2) 由(1)与A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又20. 设.其中， 求.【解】因可逆，且故由得21. 设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若，则；(2) .【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|0，则有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,这与| A*|0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，则| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.22.设.求(1) ; (2); (3) ；(4)k (为正整数).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).23. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 对A做如下分块 其中的逆矩阵分别为所以A可逆，且同理(2)(3) 24. 用初等变换将下列矩阵化为等价标准形。（1）； （2）。解：（1）=。（2）=。25. 利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵。（1）； （2）；（3）； （4）。解：（1）对作初等行变换：所以A-1=。（2）对作初等行变换：所以，A-1=。解：（3）所以。（4）所以。26. 求下列矩阵的秩。（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。解：（1）A=所以R（A）= 4。（2）A=所以R（A）= 3。（3）A=所以R（A）= 2。（4）A=所以R（A）= 3。（5）A=E所以R（A）= 5。（6）A=当且时，R（A）= 4；当a=1时，R（A）= 1；当时，R（A）= 3。27. 已知A=（1，-1，0），B=。若R（AB+B）=2，求a。解：A=，AB=，AB+B=+=因为=-160，所以当为a任意实数时，均有R（AB+B）=2。（B类）1.C2.C3.C4.C5. 设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|= 。解：因为A=，且BA=B+2E，则BA-B=2EB（A-E）=2E B=2(A-E)-1又A-E=，所以（A-E）-1=B= |B|=26设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t= 。解：因为AB=O，且B为非零矩阵，则有|A|=0。反证法证明以上结论。如果|A|0，则A可逆，存在A-1A=E因为AB=O，所以A-1AB=O B=O与B为非零矩阵矛盾。故有|A|=0。又A=，所以|A|=7(t-8+11)=7(t+3)所以t=-3.7. 已知矩阵 的秩为3，则k= .解 由于，则，即 .由此得 或. 当时，显然有； 当时，的左上角的3阶子式 .故当且仅当时，.8. 设A为43矩阵，且R（A）=2，而B=，则R（AB）= 。解：因为|B|=100，所以B可逆。所以R（AB）=R(A)=2.9. 设方阵A满足A2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明：因为,所以，两边取行列式.则 所以，所以可逆，.又得，由可逆，则2可逆，所以+2E可逆10设A是n阶方阵，满足，且|A|0，求|A+E|。解：|A+E|=|=|=|A|=|A|A+E|所以，因为1-|A|0,(|A|0)所以|A+E|=0。11. 若3阶方阵A的伴随矩阵为A*，且|A|=，求的值。解：|A|=R(A)=3，所以所以=则。12设，其中.证明：与可交换的只能是对角矩阵.证：设与可交换.则，.由可得，由，ij, 所以当i1, 同理可得所以是对角矩阵.13. 设A为n阶方阵(n2),A*为A的伴随矩阵,试证:(1) 当R(A)=n时,R(A*)=n;(2) 当R(A)=n-1时,R(A*)=1;(3) 当R(A)n-1时,R(A*)=0.证明：（1）由，所以可逆.而所以，所以可逆，即（2）下面先证明一个矩阵秩的性质.设矩阵、B则而，故秩+秩Bn+秩（B）由R（）=n-1，则=0，所以，所以秩+秩*n，即秩*1又R()=n-1,所以的所有n-1阶子式不为0，即*有非零元素，即秩*1，故秩*=1.（3）由R（）n-1，故的所有n-1阶子式为0，即*的所有元素为0，从而秩（*）=0.习题三（A类）1. 设1(1，1，0)，2(0，1，1)，3(3，4，0).求1-2及31+22-3.解：1-2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),31+22-3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 设3(1-)+2(2+)5(3+)，其中1(2，5，1，3)，2(10，1，5，10)，3(4，1，-1，1).求.解：由3（1-）+2(2+)=5(3+)整理得：=(31+22-53),即= (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1） （2） （3） （4） （5）4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）1=(2,5), 2=(-1,3);(2) 1=(1,2), 2=(2,3), 3=(4,3);(3) 1=(1,1,3,1),2=(4,1,-3,2),3=(1,0,-1,2);(4) 1=(1,1,2,2,1),2=(0,2,1,5,-1),3=(2,0,3,-1,3),4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5. 设,3线性无关，证明：，+，+3也线性无关.证明：设即由线性无关，有所以即线性无关.6.问a为何值时，向量组线性相关，并将用线性表示.解：当a=5时，7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为.8. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若 (1)线性相关，且不妨设 (tr) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.9. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由线性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) 1=(1,2,1,3),2=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7);(2) 1(6，4，1，-1，2)，2(1，0，2，3，-4)，3(1，4，-9，-6，22)，4(7，1，0，-1，3)；(3) 1(1，-1，2，4)，2(0，3，1，2)，3(3，0，7，14)，4(1，-1，2，0),5(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵，应用初等行变换将化为最简形矩阵B，则可知：R（）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的的第1，2列线性无关，即1,2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理，可知R()=R(B)=4,的4个列向量线性无关,即1,2,3,4是该向量组的极大无关组.(3)同理, ,可知R()=R(B)=3,取线性无关组1,3,5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1) 1=(1,1,3,1),2=(-1,1,-1,3),3=(5,-2,8,-9),4=(-1,3,1,7);(2) 1=(1,1,2,3),2=(1,-1,1,1),3=(1,3,3,5),4=(4,-2,5,6),5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成,应用初等行变换化为最简形式.,可知,1,2为向量组的一个极大无关组.设3=x11+x22,即解得,设4=x31+x42,即解得,所以(2)同理, 可知, 1、2可作为的一个极大线性无关组，令3=x11+x22可得：即x1=2,x2=-1,令4=x31+x42,可得：即x1=1,x2=3,令5=x51+x62,可得：即x1=-2,x2=-1,所以3=21-24=1+32,5=-21-213. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组 (1)与向量组 (2)的极大线性无关组分别为 (3)和 (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14. 设向量组1,2,s的秩为r1,向量组1,2,t的秩为r2,向量组1,2,s,1,2,t的秩为r3,试证:maxr1,r2r3r1+r2.证明：设s1,，为1,2,，s的一个极大线性无关组, t1,t2,为1,2,t的一个极大线性无关组. 1，为1, 2，s，1，2，t的一个极大线性无关组，则s1, ，和t1，tr2可分别由1，线性表示，所以，r1r3，r2r3即maxr1,r2r3，又1，可由s1, ，sr1，t1，tr2线性表示及线性无关性可知：r3r1+r2.15. 已知向量组1=(1,a,a,a),2=(a,1,a,a),3=(a,a,1,a),4=(a,a,a,1)的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式：由秩A=3.可知a1,从而1+3a=0，即a=-.16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)； (2).【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.17. 集合V1()R且0是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，设)则因为所以,故是向量空间.18. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则,所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.19. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵是一组基，其维数是3维的.20. 设,证明:.【解】因为矩阵由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.21. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即即求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数)故22. 验证为R3的一个基，并把用这个基线性表示.【解】设又设,即记作 B=AX.则因有,故为R3的一个基，且即.（B类）1.A2.B3.C4.D5.a=2，b=46.abc07.设向量组1,2,3线性相关,向量组2,3,4线性无关,问:(1) 1能否由2,3线性表示?证明你的结论.(2) 4能否由1,2,3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组1，2，3线性相关，知向量组1, 2, 3的秩小于等于2,而2, 3, 4线性无关，所以2, 3线性无关，故2, 3是1, 2, 3的极大线性无关组，所以1能由2, 3线性表示.（2）不能.若4可由1，2，3线性表示,而2，3是1，2，3的极大线性无关组,所以4可由2，3线性表示.与2，3，4线性无关矛盾.8.若1,2,n,n+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,kn,kn+1,使k11+k22+kn+1n+1=0.证明:因为1，2，n，n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，kn，kn+1使k11+k22+kn+1n+1=0若k1=0，则k22+kn+1n+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=kn+1=0,矛盾.从k10,同理可知ki0,i=2, ,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+kn+1an+1=0.9. 设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩An,秩Bn，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩Emin秩A，秩Bn，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.习题四（A类）1. 用消元法解下列方程组.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程组由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程组得基础解系为.(2) 系数矩阵为 其基础解系含有个解向量.基础解系为(3) 得同解方程组取得基础解系为(