数学分析第三章极限与函数的连续性03.ppt

一、概念:,定义 3.7,4 函数的连续性,在 连续,定义 3.7（单侧连续）,左连续；,右连续。,若,若,定义 3.8,注: 在定义域上连续的函数称为连续函数.,例1,证,二、连续函数的四则运算,设,则,（1）,（这里,为常数）;,（2）,（3）,三、复合函数的连续性,定理 3.14,三、不连续点的类型,不连续点的分类, 第一类不连续点 (跳跃间断点),跃度。,跳跃间断点。,例: 符号函数,1,-1,x,y,o,是第一类间断点。, 第二类间断点,例:,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点., 可去间断点,例,解：,如上例中,初等函数的连续性,定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的.,（1） 三角函数.,反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性。为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。,（2） 指数函数.,设一组实数的闭区间序列,(i),定义3.10,满足：,(ii),则 构成一个区间套,（区间套定理）设,是一个区间套，,则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间,即,且,定理3.16,证明：用单调有界原理证明区间套定理：,定理3.17 连续函数介值定理,若,在,连续，,则存在,，使得,证明：,用区间套定理。记,用,二等分,，若,，则定理证完。否则，若,则取,；若,则取,用,二等分,，,如此继续下去，,得一区间套,，满足,根据区间套定理，,知存在,，有,由,在 r 连续，知,故,定理证完。,反函数的连续性,定理3.18 (反函数存在、连续性定理),（3） 反三角函数.,应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。,反三角函数在其定义域内皆连续.,（4） 对数函数.,（5） 幂函数.,总结 初等函数的连续性,一切初等函数在其定义域上都是连续的.,注：一般可用函数的连续性用代入法求极限。,5无穷小量与无穷大量的比较,一、无穷小量的比较,（一）无穷小量,定义 1,（二）无穷小量的比较,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限, 高阶无穷小量, 同阶无穷小量, 等价无穷小量,定义,定理 1,常用的等价无穷小:,（三）无穷小量的阶:,（四）无穷小量的性质:,问题:,任何两个无穷小都可以比较吗？,不一定,例当 时,都是无穷小量，,故当 时,二、无穷大量的比较,（一）无穷大量,定义 2,（二）无穷大量的比较, 高阶无穷大量, 同阶无穷大量, 等价无穷大量,定义,定理 2,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则,4. 函数极限的,或,定义及应用,5. 函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,6. 无穷小量与无穷大量的定义,7. 无穷小量与函数极限的关系,8. 无穷小量与无穷大量的关系,9. 无穷小量的比较,设 , 对同一自变量的变化过程均为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,习题,1. 设函数,提示:,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,有第二类间断点,及可去间断点,解:,为第二类间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,2. 设函数,试确定常数 a 及 b .,3. 求下列极限：,提示:,令,5. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,补充题,1. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,2.