《高数二期末复习》PPT课件.ppt

第十章 线面积分,1 、计算对弧长的曲线积分（参数方程）,上页 下页 返回 结束,2、 金属曲线的质量（包括对称性的应用）,3、用格林公式计算对坐标的曲线积分（补线）,5、 计算对面积的曲面积分,4 、全微分方程的充要条件（选择题）,6、 利用Gauss公式计算对坐标的闭曲面积分,一. 第一类曲线积分的计算,1、 对于曲线,2、对于曲线,3、对于曲线,上页 下页 返回 结束,例1. 设均匀螺旋形弹簧L的参数方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,上页 下页 返回 结束,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理1、,在有向光滑弧 L 上连续,L 的参数方程为,则曲线积分存,在，且,特殊情形,上页 下页 返回 结束,对空间光滑曲线弧 :,上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L ，以弧长为参数 的参数方程为,已知 L的切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,上页 下页 返回 结束,定理2. 设区域 D 由分段光滑正向曲线 L 围成,则,格林公式,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,四、 格林公式,间的联系.,格林公式,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之,上页 下页 返回 结束,证明略,推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解 为应用格林公式, 添加辅助线,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 于是,上页 下页 返回 结束,B,A,如果在区域 G 内恒有,五、曲线积分与路径无关的条件,注 曲线积分与路径无关时, 可记为,上页 下页 返回 结束,则称曲线积分,在G 内,与路径无关，,否则称曲线积分与路径有关.,定理3. 设G 是单连通域 ,在G 内,具有一阶连续偏导数,(2) 沿G 中任意光滑闭曲线 L ,(1) 在G中，曲线积分,(4),(3) 在 G内每一点，都有,与路径无关.,以下四个条件等价:,在G内是某一函数,的全微分,即,P dx + Q dy 的原函数,上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中L 是沿,逆时针方向以原点为中心,解一 令,则,表明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,上页 下页 返回 结束,解二,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,上页 下页 返回 结束,例4. 验证,是某函数的全微分, 并求,一个这样的函数.,证 设,则,表明存在函数 u (x , y) 使得,。,。,上页 下页 返回 结束,例5. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在,原函数 , 并求出它.,证 令,则,因此存在原函数,上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,逆时针方向.,练习1.,上页 下页 返回 结束,定理4. 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且,六、对面积的曲面积分计算,则曲面积分,证明略,上页 下页 返回 结束,类似地，,如果曲面为,上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,二重积分,第一步：求出曲面在坐标面上的投影区域,第二步：求出曲面的面积元素：,第三步：化为二重积分并计算.,，则,如果曲面为,则,例6,解,积分曲面,投影域,：,上页 下页 返回 结束,例7. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解,上页 下页 返回 结束,七、对坐标的曲面积分的计算,定理5 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,上页 下页 返回 结束, 若,则, 若,则,前正后负,右正左负,注,如果积分曲面 取下侧, 则,上页 下页 返回 结束,解 把 分为上下两部分,思考 下述解法是否正确:,例8. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,九、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,上页 下页 返回 结束,令,向量形式,上页 下页 返回 结束,例9. 计算曲面积分,其中,解 利用两类曲面积分的联系, 原式 =,为旋转抛物面,介于,平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧.,上页 下页 返回 结束,原式 =,上页 下页 返回 结束,十、Gauss公式,高斯公式,函数,、,、,一阶连续偏导数,则,处外法向量的方向余弦.,上页 下页 返回 结束,例10.,设 为曲面,上侧, 求,解,作取下侧的辅助曲面,用柱坐标,用极坐标,上页 下页 返回 结束,解,计算曲面积分,所围成的空间闭区域,W,的整个边界曲面的外侧.,练习2.,上页 下页 返回 结束,思考: 若 改为内侧,