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文档简介

第4讲(补充) 微分中值定理,一. 费马定理,二. 罗尔中值定理,三. 拉格朗日中值定理,四. 柯西中值定理,了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义会用罗尔中值定理证明方程根的存在性会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式,函数导数的定义为,导数与差商,导数与差商,相等！,将割线作平行移动, 那么它至少有一次会,达到这样的位置：,在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成,为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.,该命题就是微分中值定理.,极值的定义,一. 费马定理,设函数f(x)在点 的某领域 内有定,在 处可导，如果对任意,那么,义，并且,有,费马定理的几何解释,如何证明？,证 不妨设 时， （如果,从而当 时，,可类似的证明）. 于是，对于,，有,当 时,根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到,所以,二. 罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,实际上, 切线与弦线 AB 平行.,最小值至少各一次.,证,最小值至少各一次.,由费马定理可知：,证,其中,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,证,由罗尔定理, 至少存在一点,分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .,且满足罗尔定理其它条件,证,想想, 看能不能找到证明的方法.,证,则由已知条件可知:,该矛盾说明命题为真 .,证,证,三. 拉格朗日中值定理,设,则至少存在一点,定理,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明？,则由已知条件可得：,故由罗尔定理, 至少存在一点,证,还有什么？,推论 1,推论 2,( C 为常数 ),推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 4,用来判断函数的单调性,推论 5,则,再由推论 4 , 即得命题成立 .,该推论可以用来证明不等式.,证,解,故,从而,证,证,证,延拓!,证,从而,解,解,又,故,从而,即,证,则,又,且,故,即,证,四. 柯西中值定理,设,则至少存在一点,有人：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,
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