高数同济§1.8函数的连续性与间断点.ppt

1,一、函数的连续性 增量 函数连续,二、函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点,1.8 函数的连续性与间断点,上页,下页,结束,返回,首页,2,思考：如何描述这种现象？,一、函数的连续性,曲线不断,曲线断开,函数f(x)随x的改变而逐渐改变;,突变现象,下页,数学语言：增量,3,1.增量的概念：,一、函数的连续性,曲线不断,曲线断开,注: 也记x=x1-x0,即自变量x从初值x0变到终值x1； 增量 x和 y可正可负; 在第2章的导数部分将再次研究增量.,下页,4,2 函数的连续性定义,提示:,下页,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),如果,5,思考：如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e ,提示：,下页,2 函数的连续性定义,6,例1,证,下页,7,左连续与右连续,结论,函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,下页,8,例2,解,左连续但不右连续 ,下页,函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,9,注:,3 连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,（1） 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的,这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且,下页,如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,10,（2）正弦函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的,这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且,首页,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,3 连续函数,实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）.,11,二、函数的间断点,设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一,(1)在x0没有定义,则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0),下页,1 间断点（不连续点）的定义,12,2 间断点举例,例1,下页,13,例2,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,下页,2 间断点举例,14,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点,例3,下页,2 间断点举例,15,因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点,例4,下页,2 间断点举例,16,通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点,3 间断点的类型,下页,17,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,第二类间断点,下页,18,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 在定义域 R内其余各点处处间断. 但其绝对值处处连续.,下页,19,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,下页,20,练习： 研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。,解：1),2), x=0为第一类间断点。,下页,21,不存在，x=0为第二类间断点。,